XeLaTeX, Latin Modern Roman, \mathbb e \mathcal

Salve, premetto che sto usando XeLaTeX su linux, tutto è aggiornato. Vi mostro il mio breve documento e vi dico i problemi

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\documentclass{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%\setmainfont{Latin Modern Roman}
%\setsansfont{Latin Modern Sans}
%\setmonofont{Latin Modern Mono}
% \setmathfont{Latin Modern Math}
\usepackage{unicode-math}
%\setmathfont{latinmodern-math.otf}
\begin{document}
Hello, world!
$$
αβγδ\mathbb{Z}\mathcal{C}
$$
\end{document}
`

1. So che Latin Modern Roman è il carattere di default, ma non capisco come mai se scommento \setmainfont, ecc incappo in un errore dove dice che il font non è reperibile. Qual è il nome corretto da mettere?
2. Se levo il pacchetto unicode-math ottengo i buoni e vecchi caratteri dell AMS per \mathcal e \mathbb, che mi piacciono. Tuttavia non visualizzo le lettere greche immesse. Potendo immettere direttamente unicode da tastiera (con una simpatica modifica) non voglio rinunciare ad unicode-math. Tuttavia in questo modo i font \matbb e \mathcal sono davvero orribili. Come ripristinare quelli vecchi?

Grazie in anticipo!