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\documentclass{book}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}\begin{document}
\begin{center}
L'algoritmo di Euclide con la disposizione delle divisioni successive di Claudio
\end{center}L'algoritmo di Euclide serve per trovare il MCD di due numeri interi $N_0$ e $N_1$ e, senza perdita di generalità, assumiamo $N_0 >N_1$. L'algoritmo si svolge come segue:
\begin{equation}
\begin{aligned}
N_0 &= q_1 N_1 + N_2\\
N_1 &= q_2 N_2 + N_3\\
\dots&=\dots \\
N_{n-1}&= q_n N_n +0
\end{aligned}
\end{equation}
dove $q_1, q_2, \dots, q_n$ sono i successivi quozienti interi delle divisioni $N_{i-1}/N_i$ per $i-1, 2,\dots, n$. Risulta che $N_n$ è il MCD dei due primi numeri interi $N_0$ e $N_1$.Per organizzare le divisioni successive riscrivendo il minimo delle informazioni necessarie si può procedere in verticale eseguendo le divisioni ora da sinistra a destra ora da destra a sinistra, alternativamente. Per lasciare libero il posto in verticale per le sottrazioni necessarie per calcolare i successivi resti, i quozienti vanno messi accanto al divisore.
\begin{equation}\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{array}{r|r|r|l}
& N_0 & & \\\cline{3-4}
& q_1N_1 & N_1 & q_1 \\\cline{1-2}
q_2 & N_2 &q_2N_2 & \\\cline{3-4}
& q_3N_3 & N_3 & q_3 \\\cline{1-2}
\hdotsfor{4} \\\cline{3-4}
& \dots & N_n & q_n \\\cline{1-2}
& 0
\end{array}
\end{equation}Esempio: determiniamo il MCD fra 2993 e 1095:
\begin{equation}\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{array}{r|r|r|l}
& 2993 & & \\\cline{3-4}
& 2190 &1095 & 2 \\\cline{1-2}
1 & 803 &803 & \\\cline{3-4}
& 584 & 292 & 2 \\\cline{1-2}
1 & 219 & 219 & \\\cline{3-4}
& 219 & 73 & 3 \\\cline{1-2}
& 0 & &
\end{array}
\end{equation}
e il MCD è 73.Come si vede, con questa disposizione dei calcoli non bisogna ricopiare niente e non sono necessarie frecce per indicare dove riutilizzare i resti come divisori. L'unica cosa a cui bisogna fare l'abitudine è scambiare alternativamente il verso della divisione da sinistra a destra e poi da destra a sinistra, fino a quando si raggiunge il resto nullo.
\end{document}`
e vedi come è semplice descrivere anche graficamente l’algoritmo di Euclide con la mia disposizione dei calcoli.
Caro Claudio,
innanzitutto mi scuso per il ritardo con il quale rispondo: ho avuto due giornate piene e non sono stato in grado di mettere piede sul forum. Il codice che mi hai mandato è veramente molto interessante ed interessante è la soluzione per descrivere l’algoritmo di Euclide. Tra l’altro, leggere il tuo codice insegna pure molto su come si possono comporre le tabelle, sicché ne terrò di conto pure per successive applicazioni.
Grazie davvero di cuore,
Andrea