Perche non riesco a compilre con texmaker dove è l’errore????
Ed inoltre ho anche pctex ma non so come si compila e si vedono i file in pdf, chi sa dirmelo??%============================================================================
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% CAPITOLO I DELLA TESI
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\chapter{CALCOLO DELLE PROBABILIT\`A}
\pagestyle{myheadings}\markboth{CALCOLO DELLE PROBABILIT\`A }
%============================= PARAGRAFO 1==================================
\section{Introduzione}
Il Calcolo delle Probabilit\`a \`e il ramo della matematica che
studia il concetto di probabilit\`a, precisandone il contenuto e le
regole formali, sviluppandole in un’ampia teoria.\\Lo studio della
Probabilit\`a risale al XVI e XVII secolo; nasce dai giochi
d’azzardo che traggono origine dall’antico gioco dei dadi. La
corrispondenza tra Fermat e Pascal iniziata nel 1654 quando un
problema fu posto a Pascal da un giocatore d’azzardo francese,
condusse all’introduzione dei concetti di base, quali {\itshape
probabilit\`a} e {\itshape aspettazione}.\\ Lo studio di tali
problematiche fu intrapreso da vari autori e nel 1657 apparve quello
che pu\`o essere considerato il primo trattato di probabilit\`a,
{\bfseries {De Ratiocinio in ludo aleae}}, di Ch. Huygens. \`E
importante, in questa fase di sviluppo, il lavoro di Giacomo
Bernoulli che nel suo libro, {\bfseries {Ars Coniectandi}}, presenta
i fondamenti dello studio del problema delle prove ripetute.
Un’altra tappa fondamentale si ha con la {\bfseries {Th\’eorie
analitique des Probabilit\’es}} di P.S. de Laplace, apparsa nel 1812,
che presenta in una teoria organica gli sviluppi classici del
Calcolo delle Probabilit\`a.\\ I contributi pi\`u importanti sono
dati dallo studio dei processi aleatori che ha inizio con i processi
a catena introdotti da Markov e si sviluppa poi con Kolmogorov, a
cui \`e dovuta la formalizzazione del Calcolo delle Probabilit\`a
pi\`u nota ed utilizzata.\\ Il Calcolo delle Probabilit\`a ha avuto
uno sviluppo enorme a partire dall’inizio del XX secolo e ci\`o \`e
collegato all’importanza sempre maggiore che esso ha assunto nelle
applicazioni. Infatti in tutte le scienze sperimentali si riconosce
nei fenomeni osservati la presenza di una componente casuale, e
quindi si afferma sempre di pi\`u l’insufficienza delle leggi
deterministiche nel descrivere i fenomeni, e di conseguenza la
necessit\`a di ricorrere a leggi probabilistiche, le quali non
predicono esattamente il risultato, ma specificano le probabilit\`a
dei vari risultati possibili.\newpage
\section{Definizioni di Probabilit\`a}
\begin{enumerate}
\item {\scshape definizione classica}\\ {\itshape La probabilit\`a di un evento
\`e il rapporto tra i casi favorevoli all’evento e il numero di casi
possibili, purch\’e questi siano equiprobabili}.\\ Questa
chiaramente non \`e una vera definizione in quanto postula il
concetto di uguale probabilit\`a.\\ \item {\scshape definizione
frequentista}\\ {\itshape La probabilit\`a di un evento \`e il
limite della frequenza dell’evento quando il numero delle prove
cresce indefinitamente}.\\ Si definisce {\itshape frequenza relativa
di occorrenza di un evento}, il rapporto $$\frac{\nu}{n}$$\\ dove
$\nu$ indica il numero di volte in cui l’evento si verifica in
\emph{n} prove tra loro indipendenti. Tuttavia anche la definizione
frequentista si presta a varie critiche, in quanto si basa su un
postulato empirico, {\bfseries la legge empirica del caso}, legata
all’osservazione che per un gran numero di fenomeni traducibili in
esperimenti casuali consistenti in \emph{n} prove ripetute, il
verificarsi o meno di un prefissato evento esibisce talune
regolarit\`a; e la frequenza, per \emph{n} sufficientemente grande
tende a stabilizzarsi intorno ad un valore limite che, qualora
individuabile, potrebbbe essere assunto come stima della
probabilit\`a.\\
\item{\scshape definizione soggettiva}\\ {\itshape La probabilit\`a
di un evento \`e il grado di fiducia nel verificarsi dell’evento, o,
operativamente, \`e la somma che si giudica equo pagare in una
scommessa per ricevere 1 se l’evento si verifica e 0 se l’evento non
si verifica}.\\ Questa definizione deve rispettare le condizioni di
“equit\`a” e “coerenza”; cio\`e non si possono fissare le
probabilit\`a dei vari eventi in modo tale che, con un’opportuna
scelta di scommesse, si abbia una vincita certa o una perdita certa.
La critica a questa definizione \`e legata al fatto che la
probabilit\`a di un evento varia da persona a persona.
\end{enumerate}
\section{Teoria della Probabilit\`a}
\subsection{Concetti di base}
\begin{itemize}
\item \emph{esperimento casuale:} processo di cui non sia prevedibile
con certezza il risultato o lo sviluppo ma di cui \`e sempre
possibile definire e precisare i possibili esiti
\item \emph{prova:} ogni singola esecuzione dell’esperimento casuale
\item \emph{spazio campione $\Omega$:} l’insieme dei possibili
risultati dell’esperimento casuale. Pu\`o essere finito, numerabile
o continuo
\item \emph{eventi elementari o punti campione $\omega$:} sono i
possibili risultati dell’esperimento casuale, cio\`e sono gli
elementi dell’insieme $\Omega$
\item \emph{evento:} \`e un sottoinsieme di $\Omega$; si dice che
l’evento E si verifica quando il risultato $\omega$
dell’esperimento casuale effettuato appartiene ad E. Il
concetto di evento \`e inscindibilmente legato a quello di
\emph{osservabilit\`a} e di \emph{misurabilit\`a}, cio\`e deve
potersi stabilire se il risultato dell’esperimento casuale,
appartiene o meno ad E; deve anche essere possibile
“misurare” l’evento, ossia associare ad E una misura
P(E).
\end{itemize}
\subsection{Assiomatizzazione}La Teoria matematica
del Calcolo delle Probabilit\`a si basa su un insieme di assiomi
dai quali deriva una teoria intrinsecamente coerente. La validit\`a
della teoria va poi verificata mettendo a confronto i risultati
teorici con i dati sperimentali. Gli assiomi stessi sono fissati in
modo da tradurre in forma qualitativa le propriet\`a suggerite da
osservazioni di natura empirica.
\subsubsection{Assiomatizzazione di Kolmogorov}
\begin{definizione}
Una famiglia $\mathcal{A}$ di parti di $\Omega$ si dice
\textbf{algebra} su $\Omega$ se soddisfa: \begin{enumerate}
\item $\Omega \in \mathcal{A}$
\item $\mbox{se}\; A,\;B \in \mathcal{A}\Rightarrow A \cup B\in \mathcal{A}$
\item $\mbox{se}\; A \in \mathcal{A}\Rightarrow \bar{A}\in \mathcal{A}$
\end{enumerate}
\end{definizione}
\begin{definizione}
Una famiglia $\mathcal{F}$ di parti di $\Omega$, costituisce una
$\sigma-$\textbf{algebra} su $\Omega$ se sussistono le seguenti
propriet\`a:\begin{enumerate}
\item $\Omega \in \mathcal{F}$
\item $\mbox{se}\; {A_{n}}\in \mathcal{F}\;\;\;\;\forall{\emph{n}}\in \mathbb{N}\,\Rightarrow\, \displaystyle \bigcup_{n=1}^{+\infty}{A_{n}\in \mathcal{F}} $
\item $A \in \mathcal{F}\Rightarrow\bar{A}\in \mathcal{F}$
\end{enumerate}
Osserviamo che una $\sigma-$\textbf{algebra} \`e un’algebra chiusa
rispetto alle operazioni di unione, intersezione, e complementazione
di eventi, ripetute anche un numero infinito di volte; ci\`o
garantisce che mediante queste operazioni si generano altri eventi.
\end{definizione}
\begin{definizione}
Una $\sigma-$\textbf{algebra} $\mathcal{F}$ su $\Omega$ si dice
\textbf{generata} da una famiglia $\mathcal{G}$ di sottoinsiemi di
$\Omega$ se ogni $\sigma-$\emph{algebra} su $\Omega$ contenente
$\mathcal{G}$ contiene $\mathcal{F}$.
\end{definizione}
\begin{definizione}
\textbf{$\sigma-$algebra di Borel}, $\mathcal{B}$, \`e la
$\sigma-$algebra generata dalla famiglia degli aperti della
topologia naturale su $\mathbb{R}$ , i cui elementi vengono detti
\emph{boreliani}
\end{definizione}
\begin{definizione}
\textbf{Spazio Probabilizzabile} \`e la coppia
($\Omega$,$\mathcal{F}$), dove $\Omega$ \`e uno spazio campione ed
$\mathcal{F}$ \`e una $\sigma-$algebra generata da sottoinsiemi di
$\Omega$\
\end{definizione}
\begin{definizione}
Sia $E\,\in\mathcal{F}$ un evento di $\Omega$ tale che
$E\,\neq \emptyset.$ L’evento E \`e detto
\textbf{evento elementare} se non si pu\`o ottenere come unione di
altri eventi; intersecandolo con un qualsiasi altro evento fornisce
l’evento impossibile o se stesso.
\end{definizione}
\begin{definizione}
Sia $(\Omega,\mathcal{F})$ uno spazio probabilizzabile. Si dice
\textbf{misura di probabilit\`a} sullo spazio campione $\Omega$ una
funzione
$$P:\mathcal{F}\longrightarrow \mathbb{R} $$ che gode delle seguenti
propriet\`a:
\begin{enumerate}
\item $P(A)\geq 0\;\;\; \forall A\in \mathcal{F} $
\item $P(\Omega)= 1$
\item (additivit\`a numerabile) se $\displaystyle \{A_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$
\`e una successione di eventi
incompatibili, cio\`e tali che
${A_{i}\cap A_{j}}={\emptyset }\;\;\forall\,i\neq j\;\mbox{allora}\:$
$$P(\displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n})=\displaystyle
\sum_{n\in\mathbb{N}}P(A_{n})$$
\end{enumerate}
\end{definizione}
\begin{definizione}
Ogni tripla ($\Omega$,$\mathcal{F}$,P), dove $\Omega$ \`e uno spazio
campione, $\mathcal{F}$ una $\sigma–$algebra, P una misura di
probabilit\`a su $\Omega$, \`e detta \textbf{spazio di
probabilit\`a}
\end{definizione}
\begin{definizione}
Un evento A si dice \textbf{quasi certo} se $P(A)=1$
\end{definizione}
\begin{definizione}
Un evento A si dice \textbf{quasi impossibile} se $P(A)=0$
\end{definizione}
\begin{definizione}
Due \textbf{eventi} A e B, si dicono \textbf{indipendenti} se:
$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B) $$
\end{definizione}
\begin{definizione}
Siano A e B due eventi qualsiasi, \textbf{la probabilit\`a} di A
\textbf{condizionata} dall’evento B si indica con $P(A|B)$ ed \`e
tale che:$$P(A|B)=\frac{P(A\cap
B)}{P(B)}\:\:\:\:\:\:\mbox{se}\:P(B)\neq 0$$
\end{definizione}\newpage
\subsubsection{Variabili Casuali} Nella Teoria della Probabilit\`a
\`e fondamentale il concetto di \emph{variabile
casuale}\footnote{useremo l’abbreviazione v.c.}; infatti nella
maggior parte degli esperimenti casuali, la variabile che esprime il
numero richiesto non assume un unico valore, ma pi\`u valori che
dipendono dai risultati degli esperimenti aleatori considerati.
Nasce quindi l’esigenza di introdurre un nuovo concetto di variabile
che coinvolga intrinsecamente la struttura degli eventi e la misura
di probabilit\`a definita su di essa.
\begin{definizione}
Sia E un insieme, $\varepsilon$ una $\sigma-$algebra su E, \emph{g}
un’applicazione di E in $\mathbb{R}$; si dice che \emph{g} \`e
$\varepsilon-$\textbf{misurabile} se la controimmagine tramite
\emph{g} di un boreliano \`e un elemento di $\varepsilon$
\end{definizione}
\begin{definizione}
Consideriamo uno spazio di probabilit\`a ($\Omega$,$\mathcal{F}$,P);
una funzione
$$X:\Omega\longrightarrow \mathbb{R}$$ si dice \textbf{v.c.} se \`e
$\mathcal{F-}$misurabile, ovvero se la controimmagine di un
boreliano \`e un evento.
\end{definizione}
\begin{definizione}
Data una v.c. $X:\Omega\longrightarrow \mathbb{R}$ si dice \textbf{funzione
di distribuzione} di X, la funzione
$$F_{X}:\mathbb{R}\longrightarrow[0,1]$$cos\`{\i} definita: $F_{X}=P(\omega\in\Omega:X(\omega)\leq
x)\equiv P(X\leq x)\equiv P(X^{-1}(-\infty,x])$
\end{definizione}
Osserviamo che la funzione di distribuzione \`e definita $\forall
x\in \mathbb{R}$, ogni v.c. possiede una funzione di distribuzione ma vv.cc.
distinte possono avere la medesima funzione di distribuzione.\\
{\large{Propriet\`a della funzione di distribuzione}}:
\begin{enumerate}
\item$ F_{X}\mbox{ \`e non decrescente in }\mathbb{R}$, ossia $$ \forall x_{1},x_{2}:x_{1}