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\title{Paradosso: conclusione apparentemente inaccettabile \thanks{Nel titolo: ”una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile” Mark Sainsbury.} \dots}
\author{\emph{{\normalsize Lorenzo Fabbr}i}}
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\chapter*{Introduzione}
Le opinioni di scienziati e filosofi su quale sia il ruolo dei paradossi spesso divergono. Secondo alcuni essi hanno una funzione importante e innovativa, annunciando e innescando rivoluzioni del pensiero.
Borges pensava che i paradossi potessero essere le prove, inevitabilmente reali, del carattere allucinatorio del mondo sostenuto dagli idealisti. Quine ha osservato che il tratto forse più curioso dei paradossi è quello di risultare, a volte, meno frivoli di quello che sembrano.
Il paradosso dei paradossi è che il vero paradosso non può esistere: il vero paradosso, \emph{true to its nature}, dovrebbe essere come l’ordigno fine-del-mondo, il sogno dello scienziato pazzo che vuole inventare l’acido universale che corrode tutto, ogni eccipiente, anche la terra, ma anche, in definitiva, se stesso e quindi non può esistere se non come ombra di un fantasma svanito, come gli infinitesimi di buona memoria; un luccichio, poi scompare e non siamo sicuri di averlo visto. Il paradosso dell’acido universale è ovviamente una variante di quello antico di re Mida.
Ma tutte le generalizzazioni sono sbagliate, e forse non esiste un tipo unico di paradossi. D’altra parte, se tutte le generalizzazioni sono sbagliate, lo è anche questa appena enunciata, che quindi è falsa, ed esiste qualche generalizzazione non sbagliata (non questa), e si può continuare a cercarla. Tra l’altro, è stato provato, contro chi sostiene che la logica pura non crea conoscenza, che:
\begin{enumerate}
\item Esistono leggi generali;
\item Gli esseri umani sono in grado di conoscerne almeno alcune con il pensiero, così fondando la posizione razionalista.
\end{enumerate}
In questo paradosso si vedono gli ingredienti costanti ed essenziali dei paradossi, l’autoriferimento e la negazione.
\chapter{Il paradosso della fede}
In filosofia il termine paradosso è usato spesso come sinonimo di antinomia: esso è un particolare tipo di paradosso che indica la compresenza di due affermazioni contraddittorie, ma che possono essere entrambe dimostrate o giustificate.
Kierkegaard, massimo esponente dell’irrazionalismo, affronterà con la sua filosofia, uno dei massimi paradossi filosofico-teologici: quello della fede.
\paragraph{Introduzione}
Tra fine 700′ e inizio 800′, i filosofi Schopenhauer e Kierkegaard, sviluppano il proprio pensiero sulla riflessione della condizione umana e sulle possibili vie di liberazione da tale situazione di sofferenza.
\section{Pensiero}
All’identità Hegeliana di soggetto-oggetto, Kierkegaard risponde che la vita intera è basata sulla contraddizione e sul paradosso,e vi sono solamente \emph{aut aut}: o quello o quello, la vita è una scelta continua. Il filosofo costruisce tutto il suo pensiero sulla categoria del singolo e ciò che caratterizza l’uomo è proprio la sua singolarità.
L’uomo è inoltre: libertà, possibilità e singolarità. Ma la libertà è responsabilità di fronte al bene e al male: da questo punto di vista la possibilità genera angoscia e da essa si determina la disperazione. Queste due condizioni estreme spingono l’uomo a fare il salto della fede.
\section{La fede}
Ciò che emerge di particolarmente significativo è la decisione di scegliere Dio al di sopra di ogni altra cosa: scelta esclusiva e senza compromessi. Ma il suo cristianesimo non deve essere confuso con quello della Chiesa ufficiale. La chiesa è da lui accusata di essersi ribellata a Dio e di avere una visione puramente terrena e mondana dell’Assoluto. Gli uomini di Chiesa hanno ridotto il messaggio di Cristo a mera dottrina -teoria basata su dogmi- cioè ne hanno fatto una speculazione teologica.
Del cristianesimo hanno tralasciato la parte più importante: l’imitazione di Cristo, una vita vissuta all’insegna dell’abnegazione e del sacrificio.
\section{La scelta}
L’ \emph{Aut…Aut} di Kierkegaard pone l’uomo di fronte a una scelta radicale: la vita estetica o quella etica. A queste si aggiungerà un’alternativa ancora più ampia, la vita religiosa. è importante sottolineare l’interpretazione dell’esistenza come scelta. \textbf{Esistere significa scegliere}, e la scelta si compie tra termini assolutamente contraddittori e inconciliabili.
\subsubsection{La vita estetica}
Chi vive nello stadio estetico vive nell’istante e nella ricerca continua del piacere, vale a dire di ciò che è attraente.
Kierkegaard ci descrive delle figure di gaudenti che vogliono gustare fino in fondo il piacere, facendo della propria vita un’opera d’arte [\textbf{Dandy}]. La vita estetica è illustrata attraverso la figura di Giovanni: esso, però, non è un seduttore sensuale, ma è un seduttore intellettuale. Vuole godere “spiritualmente” dei momenti in cui la sua partner si abbandona all’amore.
Eppure egli è assolutamente convinto che la vita estetica non possa costituire il fine della vita, ma tutt’al più uno stadio: non si può sempre giocare con la vita e, ben presto, chi si dedica al solo piacere, viene assalito dalla noia. Viene a perdere il senso della propria esistenza.
\subsubsection{La vita etica}
Il Don Giovanni, giunto ora alla disperazione, decide di assumersi una responsabilità: è giunto il momento in cui si decide di fare il salto verso lo “stadio del dovere”. La disperazione è un segno positivo, perché significa che l’uomo ha deciso di affrontare la vita in modo esistenziale. Lo stadio etico è rappresentato dalla condizione del marito: la famiglia, dunque, esprime l’ideale del dovere morale. Nonostante l’apparente serenità e la tranquillità tipica di questa possibilità esistenziale, neppure la scelta etica è pienamente soddisfacente: esso è minacciato dal conformismo. Nell’animo dell’uomo etico si affiora un oscuro senso di colpa: deriva dal fatto che quella vita è insoddisfacente e l’equilibrio famigliare è solo una maschera [\textbf{Pirandello}].
\subsubsection{La vita religiosa}
Kierkegaard pubblica in seguito \emph{Timore e Tremore}, in cui emerge la convinzione che il fine ultimo dell’uomo consista nella realizzazione della vita religiosa. Si tratta di un salto, un colpo di fortuna o di audacia come dice lo stesso filosofo: non appena l’uomo scopre la profonda distanza che lo separa da Dio, allora l’orizzonte dell’agire morale viene superato. La fede, diventa per il filosofo, l’assolutamente alto rispetto alla ragione.
Il simbolo della vita religiosa è Abramo che, vissuto nel rispetto dei doveri morali e famigliari, all’improvviso riceve da Dio l’ordine di uccidere suo figlio Isacco, in netto contrasto con ogni legge morale e sociale. Abramo è posto di fronte a un’alternativa radicale: obbedire o non obbedire al comando di Dio, un comando incomprensibile per la ragione umana. Egli fa il salto della fede, sceglie Dio; si tratta di una scelta irrazionale e assurda.
\subsubsection{La fede come paradosso e scandalo}
La fede diviene paradosso perché contraria all’opinione degli uomini. La fede è un dono di Dio fatto all’uomo; allora perché, se Abramo ha ricevuto la fede, Dio avrebbe dovuto metterlo alla prova?
Abramo sente che il terribile comando viene da Dio, proprio perché si sente angosciato. Dio non è tranquillizzante, non da pace all’uomo, ma lo inquieta. L’assoluta irrazionalità del comando divino è il segno che Dio ha scelto Abramo e gli ha fatto il dono della fede. Ed è la fede stessa ad essere segno di contraddizione. Abramo ha avuto fede, ha ubbidito. Ma lo ha fatto perché Dio lo ha scelto. La fede è dunque \emph{paradosso e scandalo}.
Kierkegaard osserva che l’individuo è posto di fronte a un bivio: credere o non credere. Colui che crede non lo fa in base alle proprie forze, perché è Dio che gli da la fede. Dunque la fede è assurdo: che crede deve scegliere di credere, ma nello stesso tempo è Dio che lo ha scelto e gli ha fatto questo dono.
Si tratta di una contraddizione insolubile, segno dell’incommensurabilità tra fede e ragione.
\chapter{Il paradosso dei gemelli}
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Il paradosso dei gemelli è un esperimento mentale che sembra rivelare una contraddizione nella teoria della relatività ristretta di Einstein. Prima di andare ad analizzare tale paradosso però, introdurrò brevemente i concetti chiave che hanno portato alla formulazione di questa straordinaria teoria fisica.
\section{Teoria della relatività ristretta}
Come nasce la relatività ristretta? Nasce dal tentativo, riuscito, di conciliare meccanica Newtoniana ed elettromagnetismo. Einstein stesso scrive a proposito:
\begin{center}
\emph{La teoria della relatività nasce necessariamente, per la presenza di serie e profonde contraddizioni, dalle quali sembrava non ci fosse uscita. La forza della nuova teoria sta nella consistenza e semplicità con cui risolve queste difficoltà, usando poche, ma convincenti, assunzioni.}
\end{center}
Ma dove queste teorie, elettromagnetismo e meccanica, erano in disaccordo? Sostanzialmente sembrava che non si trovasse un gruppo di sistemi di riferimento in cui le leggi dell’elettromagnetismo avessero la stessa forma, ovvero per avere una descrizione dei fenomeni fisica, sembrava fosse necessario modificare le leggi dell’elettromagnetismo a seconda del sistema di riferimento in cui ci si trovava.
Si ipotizzò dunque che fossero le leggi per passare da un sistema di riferimento all’altro ad essere sbagliate, ma a questo punto si rendeva necessario cambiare le leggi della meccanica da un sistema di riferimento all’altro.
\subsection{Formulazione}
La teoria della relatività ristretta trae origine dagli studi di Albert Einstein formalizzati in un articolo del 1905. Per poter capire questa teoria e come essa abbia rivoluzionato il mondo della fisica, occorre tornare un pò indietro nel tempo e risalire fino a Newton ed al suo problema della ricerca del sistema di riferimento assoluto. Per poter descrivere qualsiasi fenomeno fisico sotto forma di legge, è necessario avere un sistema di riferimento ed occorre che tale sistema di riferimento non alteri in alcun modo la nostra descrizione del fenomeno. Nella nostra vita quotidiana siamo portati spontaneamente a fare riferimenti quando facciamo delle misure, o quando diamo delle indicazioni. Per descrivere le leggi della fisica dobbiamo definire una categoria di sistemi di riferimento, detti inerziali. Nei sistemi di riferimento inerziali vale il principio di inerzia o prima legge della dinamica che afferma che se un corpo non è soggetto a forze fisiche, esso rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Questa definizione del principio di inerzia è dovuto a Galileo Galilei.
Un sistema non inerziale è quindi un sistema associato ad un corpo sottoposto a forze e quindi ad una accelerazione. Trovato un sistema inerziale, se ne possono definire infiniti altri purché il moto relativo di ognuno di questi sistemi sia rettilineo uniforme.
Se tutti i sistemi di riferimento inerziali hanno moti relativi, ci si chiede quale sia, fra tutti questi, quello che è in quiete assoluta, cioè fermo.
Il problema di Newton consisteva nel trovare un sistema inerziale in quiete assoluta e si pensò di trovare tale sistema introducendo l’esistenza dell’etere, una sorta di quasi-vuoto, trasparente, impalpabile e legato alle stelle fisse. Tutti i sistemi inerziali hanno quindi un moto rispetto all’etere anche se tale moto è costante, cioè rettilineo uniforme.
Il bisogno della ricerca dell’etere si fa più pressante quando si ha l’unificazione delle forze elettriche e magnetiche ad opera di James Maxwell. Una carica elettrica che oscilla nello spazio genera un campo elettromagnetico che si propaga sotto forma di \emph{onda piana}. Il problema sta nell’individuare il mezzo di propagazione delle onde elettromagnetiche.
Le conoscenze che si avevano alla fine del secolo scorso dei fenomeni ondulatori, mostravano che era necessario averne uno: le onde sonore, ad esempio, si propagano nell’aria. Per le onde elettromagnetiche il mezzo di propagazione non poteva essere il vuoto e quindi viene riesumato l’etere.
Un esperimento fatto nel 1887 da Michelson e Morley, eseguito proprio per misurare la velocità della terra nell’etere, mostra inconfutabilmente che tale velocità è nulla. Sulla base di tale esperimento Einstein ipotizza che l’etere non esista e di conseguenza non esiste un sistema di riferimento assoluto: i moti sono tutti relativi. All’epoca di Einstein già si sapeva che la luce e più precisamente la radiazione elettromagnetica, si propagava con velocità finita pari a $300\,000\unit{km/s}$ .
Da questi presupposti Einstein enuncia i suoi postulati di relatività:
\begin{enumerate}
\item Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
\item La luce ha una velocità finita sempre uguale in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
\end{enumerate}
Il secondo postulato quindi pone un limite invalicabile alla velocità in natura. Se in qualsiasi sistema di riferimento inerziale un segnale luminoso ha la stessa velocità, sarà impossibile superare tale limite. Supponiamo di trovarci su un’astronave in moto ad una velocità sostenuta. Se dall’astronave viene inviato un segnale luminoso nel verso di percorrenza dell’astronave, un osservatore fermo rispetto all’astronave dovrebbe vedere quel segnale muoversi ad una velocità pari alla somma della velocità della luce più quella dell’astronave. Il secondo postulato afferma che ciò non è vero: il segnale luminoso per l’osservatore fermo si muoverà sempre alla velocità della luce.
All’ epoca di Einstein fare simili ipotesi era senz’altro azzardato, ma nel seguito i due postulati si sono dimostrati corretti. Da questi due postulati apparentemente semplici, si deve edificare nuovamente tutta la fisica, migliorandone quelle parti che sono in contrasto coi postulati di relatività. Ciò significa che la fisica newtoniana \footnote{La prima legge della dinamica, o principio di inerzia, afferma che un corpo tende a mantenere il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fino a quando non intervengono cause esterne a sollecitarlo. La seconda legge della dinamica, o principio fondamentale della dinamica, stabilisce che, quando a un corpo di massa $m$ viene applicata una forza $\textbf{F}$, esso acquista un’accelerazione $\textbf{a}$, con verso e direzioni coincidenti alla forza, tale per cui $\textbf{F}=m\textbf{a}$. La terza legge della dinamica, o principio di azione e reazione, stabilisce che a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria, tale per cui: $\textbf{P}=-\textbf{R}$.} ha una sua validità limitata al campo delle velocità molto basse rispetto quella della luce. Il solo fatto di considerare la luce come una velocità limite della natura, porta come immediata conseguenza l’eliminazione del concetto di \textbf{tempo assoluto}.
\subsubsection{Il tempo}
Nella fisica di Galileo e Newton, il tempo scorre in modo assoluto in tutti i sistemi di riferimento; infatti un intervallo di tempo tra due eventi in un sistema di riferimento inerziale è lo stesso se misurato in un altro sistema in moto rispetto al primo. Nella relatività ristretta la situazione non è più la stessa.
Per un osservatore che viaggia a velocità prossime a quelle della luce, il tempo scorre più lentamente che per l’osservatore fermo. Per l’osservatore in moto l’intervallo di tempo è sempre lo stesso, cambia la sua misura quando si passa da un sistema all’altro.
Questo è dovuto al fatto che nella teoria della relatività la luce impiega tempo per collegare due punti dello spazio. Tale fenomeno è noto col nome di \textbf{dilatazione del tempo}. è chiaro però che nel momento in cui consideriamo eventi che si muovono a velocità molto basse rispetto a quella della luce, vale la fisica classica.
\subsubsection{La lunghezza}
Altra conseguenza della teoria della relatività ristretta è che un oggetto che si muove a velocità prossima a $c$, appare ad un osservatore in quiete, più corto rispetto alla dimensione dell’oggetto medesimo in quiete. Quest’effetto, noto come \textbf{contrazione delle lunghezze}, è un effetto che non può essere misurato direttamente, cioè non può essere quantificato sperimentalmente in vari modi.
La dilatazione del tempo e la contrazione delle lunghezze sono le conseguenze più “vistose” della relatività ristretta.
Anche nel caso della teoria della relatività, come per tutte le teorie, è sempre necessario che ci siano delle verifiche sperimentali. Dato che la contrazione delle lunghezze non può essere verificata, l’unico effetto realmente misurabile è la dilatazione del tempo. Tali misure vengono eseguite nei laboratori di fisica atomica dove studiando il tempo di vita delle particelle subatomiche \footnote{Si intendono tutte le particelle che compongono l’atomo.}, in quiete ed in moto, è possibile verificare appunto che le particelle in moto relativistico vivono più a lungo di quelle in quiete o comunque in moto newtoniano.
Unitamente a queste verifiche sulla dilatazione del tempo, quando una particella viene accelerata sempre più, affinché raggiunga una velocità prossima a $c$, l’energia $\textbf{E}$ spesa per tale accelerazione si trasforma in massa \footnote{La massa è una proprietà dei corpi materiali, che determina il loro comportamento dinamico quando sono soggetti all’influenza di forze esterne.} , cioè aumenta la massa della particella in questione. Al limite, una particella che raggiunga la velocità della luce – e che non sia un fotone, cioè un quanto di luce – dovrebbe avere una massa infinita.
La relazione che lega queste grandezze è la ben nota:
\begin{equation}
\textbf{E}=mc^2
\end{equation}
dove $\textbf{E}$ è l’energia, $m$ è la massa e $c$ è la velocità della luce al quadrato.
\subsubsection{Lo spazio-tempo}
Altro concetto di grande importanza nella relatività è lo \emph{spazio-tempo}: dato che il tempo non è più assoluto, non è possibile slegare il concetto di spazio da quello di tempo. Il tempo diventa quindi un’altra coordinata da aggiungere alle tre spaziali \footnote{Si intende: $x, y, z$}. D’altronde anche noi in pratica usiamo quattro coordinate o quattro dimensioni nella vita di tutti i giorni. Quando fissiamo un appuntamento con una persona indichiamo un posto (tre coordinate per lo spazio) e l’ora (una coordinata per il tempo). La differenza sta nel fatto che in questa teoria si stabilisce un legame geometrico tra spazio e tempo.
Dal concetto di tempo relativo, si passa poi alla conseguenza che la simultaneità degli eventi viene a cadere quando abbiamo sistemi di riferimento in moto relativo. Due eventi si dicono \textbf{simultanei} quando accadono nel medesimo istante. Nella relatività ristretta, eventi che sono simultanei se misurati in un determinato sistema di riferimento inerziale, senz’altro non lo saranno più se osservati da un altro sistema di riferimento inerziale in moto uniforme.
Il fenomeno della dilatazione del tempo implica che un astronauta che viaggiasse alla velocità della luce per andare, ad esempio, alla stella più vicina, distante circa 4 anni luce, al suo ritorno sulla terra, troverebbe non più la gente invecchiata di 8 anni, ma di secoli \footnote{Per anno luce si intende la distanza percorsa dalla radiazione elettromagnetica (luce) nel vuoto nell’intervallo di un anno}.
\chapter{Il paradosso di Zenone}
La possibilità di sommare infiniti numeri… pagina 229 di Salsa come faccio a fare 1. Cenni storici anziché come viene in questo modo?
\paragraph{Cenni storici al calcolo di infiniti elementi}$\\$
come è possibile risolvere questo problema
effe
\listoffigures
\tableofcontents
\clearpage
\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia}
\begin{thebibliography}{9} \bibitem{lamport-latex}
\bibitem{companion}
\end{thebibliography}
Leslie Lamport. \emph{\LaTeX: a document
preparation system}. Addison-Wesley, 1994.
Michel Goossens, Frank Mittelbach, and Alexander Samarin. \emph{The \LaTeX\ Companion}. Addison-Wesley, 1994.
\end{document}