Così?
`% m=2, n=1
\draw[line width=1.2pt] (-2,-6) arc(180:90:1) node[below=2.2cm] {$m=2, n=1$};
\fill[gray] (-1,-5) arc(90:0:1) — (-1,-6) — (-1,-5);
\draw[line width=1.2pt] (-1,-7) arc(270:360:1);
\fill[gray] (-1,-7) arc(270:180:1) — (-1,-6) — (-1,-7);`Se congiungi gli archi al centro con dei raggi, non c’è bisogno di usare né scope, né clip (anche negli altri casi). Se ho capito bene il tuo problema, non funzionava perché clip chiude il percorso che definisci con un segmento che congiunge i due estremi (in questo caso una corda), perciò il riempimento era un segmento circolare e non un settore, come ti saresti aspettato. Nel codice precedente — (-1,-5) e — (-1,-7) sono superflui perché il settore si chiude automaticamente.
Ovviamente, invece di tracciare due archi e due settori, puoi tracciare direttamente due archi e una farfalla grigia così:
`% m=2, n=1
\draw[line width=1.2pt] (-2,-6) arc(180:90:1) node[below=2.2cm] {$m=2, n=1$}
(0,-6) arc(0:-90:1);
\fill[gray] (-2,-6) arc(180:270:1) — (-1,-5) arc(90:0:1);`Se devi riempire anche i settori bianchi, ti conviene disegnare un cerchio bianco, una farfalla grigia e i due archi neri a parte.
Alla fine il tuo codice appare così (nota che ho rimosso le circonferenze sottili nella prima riga, pensando di interpretare le tue necessità):
`\begin{tikzpicture}
% m=0, n=1
\draw[line width=1.2pt] (-1,1) circle(1) node[below=1.2cm] {$m=0, n=1$};
% m=0, n=2
\draw[line width=1.2pt, fill=gray] (2,1) circle(1) node[below=1.2cm] {$m=0, n=2$};
\fill[white] (2,1) circle(.4);
% m=0, n=3
\draw[line width=1.2pt, fill=gray] (5,1) circle(1) node[below=1.2cm] {$m=0, n=3$};
\fill[white] (5,1) circle(.6);
\fill[gray] (5,1) circle(.3);
% m=1, n=1
\draw[line width=1.2pt] (-1,-3.5) arc(270:90:1) node[below=2.2cm] {$m=1, n=1$};
\fill[gray] (-1,-3.5) arc(-90:90:1);
% m=1, n=2
\draw[line width=1.2pt] (2,-3.5) arc(270:90:1) node[below=2.2cm] {$m=1, n=1$};
\fill[gray] (2,-3.5) arc(-90:90:1);
\draw[line width=1.2pt, fill=white] (2,-3) arc(-90:90:0.5);
\fill[gray] (2,-3) arc(270:90:0.5);
% m=1, n=3
\draw[line width=1.2pt] (5,-3.5) arc(270:90:1) node[below=2.2cm] {$m=1, n=3$};
\fill[gray] (5,-3.5) arc(-90:90:1);
\draw[line width=1.2pt, fill=white] (5,-3.1) arc(-90:90:.6);
\fill[gray] (5,-3.1) arc(270:90:.6);
\draw[line width=1.2pt, fill=white] (5,-2.8) arc(270:90:.3);
\fill[gray] (5,-2.8) arc(-90:90:.3);
% m=2, n=1
\draw[line width=1.2pt] (-2,-6) arc(180:90:1) node[below=2.2cm] {$m=2, n=1$}
(0,-6) arc(0:-90:1);
\fill[gray] (-2,-6) arc(180:270:1) — (-1,-5) arc(90:0:1);
\end{tikzpicture}`
Ciao