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\begin{document}
\begin{center}
L'algoritmo di Euclide con la disposizione delle divisioni successive di Claudio
\end{center}
L'algoritmo di Euclide serve per trovare il MCD di due numeri interi $N_0$ e $N_1$ e, senza perdita di generalità, assumiamo $N_0 >N_1$. L'algoritmo si svolge come segue:
\begin{equation}
\begin{aligned}
N_0 &= q_1 N_1 + N_2\\
N_1 &= q_2 N_2 + N_3\\
\dots&=\dots \\
N_{n-1}&= q_n N_n +0
\end{aligned}
\end{equation}
dove $q_1, q_2, \dots, q_n$ sono i successivi quozienti interi delle divisioni $N_{i-1}/N_i$ per $i-1, 2,\dots, n$. Risulta che $N_n$ è il MCD dei due primi numeri interi $N_0$ e $N_1$.
Per organizzare le divisioni successive riscrivendo il minimo delle informazioni necessarie si può procedere in verticale eseguendo le divisioni ora da sinistra a destra ora da destra a sinistra, alternativamente. Per lasciare libero il posto in verticale per le sottrazioni necessarie per calcolare i successivi resti, i quozienti vanno messi accanto al divisore.
\begin{equation}\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{array}{r|r|r|l}
& N_0 & & \\\cline{3-4}
& q_1N_1 & N_1 & q_1 \\\cline{1-2}
q_2 & N_2 &q_2N_2 & \\\cline{3-4}
& q_3N_3 & N_3 & q_3 \\\cline{1-2}
\hdotsfor{4} \\\cline{3-4}
& \dots & N_n & q_n \\\cline{1-2}
& 0
\end{array}
\end{equation}
Esempio: determiniamo il MCD fra 2993 e 1095:
\begin{equation}\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{array}{r|r|r|l}
& 2993 & & \\\cline{3-4}
& 2190 &1095 & 2 \\\cline{1-2}
1 & 803 &803 & \\\cline{3-4}
& 584 & 292 & 2 \\\cline{1-2}
1 & 219 & 219 & \\\cline{3-4}
& 219 & 73 & 3 \\\cline{1-2}
& 0 & &
\end{array}
\end{equation}
e il MCD è 73.
Come si vede, con questa disposizione dei calcoli non bisogna ricopiare niente e non sono necessarie frecce per indicare dove riutilizzare i resti come divisori. L'unica cosa a cui bisogna fare l'abitudine è scambiare alternativamente il verso della divisione da sinistra a destra e poi da destra a sinistra, fino a quando si raggiunge il resto nullo.
\end{document}`
e vedi come è semplice descrivere anche graficamente l’algoritmo di Euclide con la mia disposizione dei calcoli.