lorenzo.pantieri” post=83616la procedura che descrivi per trovarlo non è di certo immediata
E’ la costruzione geometrica con squadre, compasso e goniometro. Nel caso dell’arco di ellisse la situazione si complica, perché gli angoli associati agli estremi vanno determinati a partire dalla circonferenza concentrica di diametro pari alla lunghezza dell’asse verticale e “proiettati” orizzontalmente sull’ellisse.
Questo esempio chiarirà:
`\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\scriptsize]
\draw [->] (-2.3,0) — (2.3,0); % asse x
\draw [->] (0,-1.3) — (0,1.3); % asse y
\draw [gray] (0,0) — (30:1.8); % raggio vettore
\node at (0.7,0.16) {$30^\circ$}; % etichetta dell'angolo
\draw [->, gray, dashed] (-2.2,0.5) — (2.2,0.5); % linea di proiezione
\draw [->] (1,0) arc (0:30:1); % arco sulla circonferenza
\draw [opacity=0.4] (1,0) arc (360:30:1); % completamento della circonferenza
\draw [->, red, thick] (2,0) arc (0:30:2 and 1); % arco proiettato sull'ellisse
\draw [red, opacity=0.4] (2,0) arc (360:30:2 and 1); % completamento dell'ellisse
\node at (0,-1.5) {\verb!(2,0) arc (0:30:2 and 1)!}; % didascalia
%
\begin{scope}[xshift=5cm] % trasla il contenuto di 5 cm verso destra
\draw [->] (-2.3,0) — (2.3,0); % asse x
\draw [->] (0,-2.3) — (0,2.3); % asse y
\draw [gray] (0,0) — (150:2.3); % raggio vettore
\node at (0.17,0.2) {$150^\circ$}; % etichetta dell'angolo
\draw [->, gray, dashed] (2,1) — (-2,1); % linea di proiezione
\draw [->] (2,0) arc (0:150:2); % arco sulla circonferenza
\draw [opacity=0.4] (2,0) arc (360:150:2); % completamento della circonferenza
\draw [->, red, thick] (1,0) arc (0:150:1 and 2); % arco proiettato sull'ellisse
\draw [red, opacity=0.4] (1,0) arc (360:150:1 and 2); % completamento dell'ellisse
\node at (0,-1.5) {\verb!(1,0) arc (0:150:1 and 2)!}; % didascalia
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}`
[attachment=646]prova2_2013-03-29.png[/attachment]
A questo punto la prima domanda è: che relazione esiste tra l’angolo (assegnato) sulla circonferenza concentrica \(\phi\) e l’angolo effettivo sull’ellisse \(\theta\)?
Consideriamo circonferenza ed ellisse nell’origine perché, dato che ci serve la relazione tra gli angoli, un’eventuale traslazione non ha alcun effetto. L’equazione cartesiana dell’ellisse sia: \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]
Poiché il raggio della circonferenza è \(b\), l’estremo libero dell’arco sulla circonferenza ha coordinate \(P(b\cos\phi,b\sin\phi)\). Allora l’estremo libero dell’arco sull’ellisse si determina intersecando la stessa con la retta di equazione \(y=b\sin\phi\) e si ottiene \(x_{1,2}=\pm a\cos\phi\). Va da sé che la soluzione che ci interessa è quella che ha lo stesso segno di \(\cos\phi\), dunque \(x=a\cos\phi\). Quindi il punto proiettato sull’ellisse ha coordinate \(P'(a\cos\phi,b\sin\phi)\). Allora l’angolo effettivo sull’ellisse è: \[\theta=\arg(a\cos\phi+ib\sin\phi)\]e di conseguenza:\[\phi=\arg(b\cos\theta+ia\sin\theta)\]
La seconda domanda è: come costruisco l’ellisse?
La costruzione può essere realizzata con squadre, compasso ed eventualmente goniometro (senza calcolatrice). Si traccia la circonferenza con centro in \(P’\) (assegnato) e raggio \(CP’\) (essendo noti \(a\), \(b\) e \(\phi\), dove \(C\) indica il centro dell’ellisse. Si determina l’angolo \(\theta\) e si traccia per \(P’\) il diametro orientato con inclinazione pari a \(\theta\). La scocca del diametro è il centro \(C\) dell’ellisse della quale sono note anche le lunghezze degli assi.
Ciao