Capisco che sei agli inizi e non hai ancora preso confidenza con le varie forme di aiuto del sistema TeX; una di queste consiste nella lettura immediata della documentazione di ogni pacchetto. Nel tuo caso con il comando (dato in una finestra chiamata terminale oppure prompt dei comandi a seconda dl sistema operativo) texdoc eso-pic si apre il file pdf che contiene la sua documentazione;
In questa si legge nella prima pagina che la macro \@ESO@HookIBG contiene tutti gli argomenti passatigli tramite \AddToShipoutPictureBG; quindi a me parrebbe che tu non dovresti (ri)definire niente, in particolare \BackgroundPicture ma semplicemente potresti scrivere:
[code]\AddToShipoutPicture{\ifodd\value{page}A\else\AA\fi}[/e questo dovrebbe bastare.
Ti confesso che non l’ho provato; al massimo manca un solo \includegraphics, con i suoi parametri come tu hai fatto nella tua definzione di Backgroundicture