Dunque, mettendo fra i tag il tuo sistema, questo diventa`$$
\begin{cases}
200\alpha_{1}(1,10)^{-2}+200\alpha_{2}(1,10)^{-7}=3000(1,10)^{-4} \\
200\alpha_{1}(1,10)^{-2}+700\alpha_{2}(1,10)^{-7}=12000(1,10)^{-4}
\end{cases}
$$`
1) Non usare mai i doppi dollari per mettere in display le formule. Ti ho già scritto perché non si deve fare e ti ho dato le indicazioni della documentazione che puoi leggere per capire il perché.
2) Togli i doppi dollari e usa [tt] \[ [/tt] al posto dei doppi dollari prima dell’ambiente cases; usa [tt] \] [/tt] dopo.
3) Uno dei motivi che hai letto nella documentazione di cui al punto 1) è che i doppi dollari non sono compatibili con tutto o parte del pacchetto amsmath, e l’ambiente cases fa parte del pacchetto amsmath.
Inoltre; non so se i contenuti delle parentesi elevati a una potenza negativa debbono essere dei numeri decimali (precisamente 1 e 10 centesimi) oppure se sono una lista formata da due numeri distinti separati da una virgola. Se è vero il secondo caso, non ho idea di che cosa significhi; se è vero il rpimo caso devi tenere presente che di default in LaTeX la virgola rappresenta sempre un segno di punteggiatura e mai un separatore decimale; capisco che quello che appare nel tuo messaggio è stato composto da un plug-in del browser, quindi non è detto che tu abbia lo stesso errore nei tuoi file, ma nel caso osservassi lo spazio maggiore a destra della virgola, allora scrivi [tt]1{,}10^{-2}[/tt] oppure usa il pacchetto siunitx che puoi configurare in modo che usi la virgola come separatore decimale, e non come segno di punteggiatura. Se scrivi in italiano disponi di una virgola intelligente che, se non usi o useresti siunitx per altri motivi, è capace di riconoscere da sola quando è immediatamente seguita da una cifra, così da inserire una virgola decimale. La documentazione del modulo per l’italiano di babel si legge aprendo un terminale, scrivendoci dentro texdoc babel-italian e poi premendo il tasto Invio. Leggi la documentazione, perché la virgola intelligente non è “intelligente” di default, ma bisogna “svegliarla” con un apposito comando.