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Intanto togli la chiamata a epsfig che con una distribuzione TeXLive 2013 non serve più.
L’opzione italian alla classe potrebbe servire anche per babel, ma babel non lo invochi nemmeno seza opzioni, quindi stai compilando (almeno nell’esempio che mostri) con la sillabazione inglese, con le parole Chapter, Table of Contents, e simili.

Non occorre specificare l’estensione .eps se il logo che ti interessa si trova sul percorso di ricerca di PdfLaTeX o nella cartella dove lavori ce l’hai solo in formato eps.

Detto questo può darsi benissimo che:
1) il tuo Texmaker sia configurato per usare un visualizzatore esterno, non il suo visualizzatore interno;
2) può darsi che tu stia compilando con latex e non con pdflates, per cui c’è un disaccordo fra il visualizzatore che stai usando e il formato del file da vedere.
3) per qualche motivo il file logo-eps-converted-to.pdf non è stato generato e quindi manca.

Io ho sostituito logo.eps con LogoTrieste.eps, ho commentato la riga che invoca epsfig, ho sostituito \columnwidth con \textwidth (forse, se componi a due colonne varrebbe la pena di scrivere \linewidth, che corrisponde alla giustezza corrente) non ho aggiunto babel, ho aggiunto la didascalia e con pdflatex (TeX Live 2013) ottengo:
1) la trasformazione del formato ps in formato pdf, l’inserzione e visualizzazione dell’immagine scalata al 20% della larghezza del testo,
3) e la didascalia con l’etichetta “Figure 1} in inglese, visto che, anche se invochi l’italiano, babel manca.

Dipende:
1) se il file ,eps è veramente vettoriale, passare al formato png vuol dire perdere la vettorialità, quindi la qualità; sarebbe una cosa da non fare mai.
2) se non riconosce il formato .eps (senza l’aiuto della chiamata esplicita di epsfig o di eps2pdf) vuol dre che la versione di TeXLive che stai usando è decisamante obsoleta, perché il programma pdfLaTeX è in grado di convertire da solo (cioè senza l’aiuto di altri moduli di estensione) le immagini eps in formato pdf dal 2010
3) è possibile che tu usi una distribuzione TeX Live/Debian, che non fa queste cose perché obsoleta; leggi che cosa c’è scritto in testa al file .log del tuo documento e lo sapri con certezza.

Soluzione manuale:
1) se vuoi conservare al tua distribuzione di TeX Live, devi procedere a mano usando da terminale, per esempio, eps2pdf; dopo che hai ottenuto logo.pdf, aprilo con gv (o gview — l’interfaccia grafica di ghostscript che permette di apriere anche i file pdf e di farci sopra qualche modifica, come quello di ritagliarlo al suo bounding box, in modo che l’immagine non abbia margini bianchi tutto attorno. Una volta fatta questa operazione, non mettere l’estensione nella chiamata di \includegraphics e pdflatex incorporerà l’unico file di cui riconosce l’estensione, cioè il pdf.

2) se lavori su una macchina diversa da Linux/Debian, aggiorna l’installazione di TeXLive, naturalmente se sei su Windiws, eventualmente disinstalla MiKTeX e installa TeX Live (vedi sull’Arte di scrivere con LaTeX per come fare); se sei su un Mac, scarica l’ultima versione di MacTeX e installalo; poi usa la TeX Live Utility.app (n Applications/TeX) e aggiornalo subito.

3) sei su una macchina Linux con qualunque denominazione ma che rispetta le regole del Consorzio Debian? Allora lascia perdere la distirbuzione di TeX Live che ti ritrovi, anche se serve per soddisfare certe dipendenze, e installa la TeX Live”originale”, seguendo con molta attenzione le istruzioni del documento texlive-ubuntu.pdf che trovi in rete cercandolo con un qualunque motore di ricerca.