Ottimizzazione formule matematiche

golden_boy” post=106695Di seguito un elenco di formule matematiche da inserire nella tesi di un mio amico.
Possibile ottimizzarle? (magari non tutte, ma quelle che lo richiedono?) O vanno bene così?

`
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\begin{document}

\chapter{Formule}

\[
f_z(z) = 2\phi(z) \Phi(\alpha z), \qquad z \in \mathbb{R}
\]

\[
F_Z(z) = \int_{-\infty}^{z} 2\phi(z) \Phi(\alpha z) dx \qquad \ and \ \qquad 1 – F_Z(z) = \int_{z}^{\infty} 2\phi(z) \Phi(\alpha z) dx
\]

\[
\frac{\phi(z)}{z} – \frac{\phi(z)}{z^3} < 1 - \Phi (z) < \frac{\phi(z)}{z} \] \[ 1 - F_Z(z) = \int_{z}^{\infty} 2\phi(z) \Phi(\alpha z) dx \leq 2 \Phi (\alpha z) \int_{z}^{\infty} \phi (x) dx = 2 \Phi (\alpha z) {1 - \Phi (z)} \] \[ \Phi (\alpha z) < \frac{\phi (\alpha z)}{\vert \alpha \vert z} \] \[ 1 - F_Z(z) < \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2}) }{\vert \alpha \vert z^2} \] \[ 1 - F_Z(z) < \frac{\phi (z)}{z} \] \[ 1 - F_Z(z) = \int_{z}^{\infty} 2\phi(x) \Phi(\alpha x) dx \leq \int_{z}^{\infty} 2\phi(x) dx < 2 \frac{\phi (z)}{z} \] \newpage if $ \alpha < 0 $ \[ \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ \phi (z \sqrt{1 + \alpha^2}}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2) z^2} - \sqrt{\frac{2}{\pi}} (2 + \frac{1 + \alpha^2}{\alpha^2}) \frac{ \phi (z \sqrt{1 + \alpha^2}}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2)^2 z^4} < 1 - F_Z(z) < \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ \phi (z \sqrt{1 + \alpha^2}}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2) z^2} \] if $ \alpha > 0 $
\[
2 \frac{\phi (z)}{z} – 2 \frac{\phi (z)}{z^3} – \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{
\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2}}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2) z^2} < 1 - F_Z(z) < 2 \frac{\phi (z)}{z} - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ \phi (z \sqrt{1 + \alpha^2}}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2) z^2} + \sqrt{\frac{2}{\pi}} (2 + \frac{1 + \alpha^2}{\alpha^2}) \frac{ \phi (z \sqrt{1 + \alpha^2}}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2)^2 z^4} \] \[ \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert x} dx - \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert^3 x^3} dx < 1 - F_Z(z) < \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert x} dx \] \[ \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert x} dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\vert \alpha \vert} \int_{z}^{\infty} \frac{1}{x^2} x \phi (x \sqrt{1 + \alpha^2)} dx \] \[ \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert x} dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2})}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2)} \int_{z}^{\infty} 2 \frac{\phi (x \sqrt{1 + \alpha^2})}{x^3} dx \] \[ \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{x^3} dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2}))}{(1 + \alpha^2) z^4} - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{4}{(1 + \alpha^2)} \int_{z}^{\infty} \frac{\phi (x^5} dx \] \[ \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert x} dx > \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2})}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2) z^2} – 2 \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2})}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2)^2 z^4} = A
\]

\[
\int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert x} dx < \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2})}{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2) z^2} = B \] \[ \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert^3 x^3} dx < \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2})}{\vert \alpha \vert^3 (1 + \alpha^2) z^4} = C \] \[ \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert x} dx - \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert ^3 x^3} dx > A – C \qquad
\]

\[
\int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \frac{\phi (\alpha x)}{\vert \alpha \vert x} dx < B \] \[ 1 - F_Z(z) = 2 \int_{z}^{\infty} \phi (x) dx - \int_{z}^{\infty} 2 \phi (x) \Phi (- \alpha x) dx \] \[ 2 \frac{\phi (z)}{z} - 2 \frac{\phi (z)}{z^3} - \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \Phi (- \alpha x) dx< 1 - F_Z(z) < 2 \frac{\phi (z)}{z} - \int_{z}^{\infty} 2\phi (x) \Phi (- \alpha x) dx< 1 \] \[ \lim_{z \to +\infty} (1 - F_Z(z)) \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\vert \alpha \vert (1 + \alpha^2) z^2}{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2})} = 1 \qquad \ and \ \qquad \lim_{z \to +\infty} (1 - F_Z(z)) \frac{z}{\phi (z)} = 0 \] \[ \lim_{z \to +\infty} \frac{1}{2} (1 - F_Z(z)) \frac{z}{\phi (z)} = 1 \] \[ log(\sqrt{\frac{2}{\pi}}) - \frac{1}{2} \alpha^2 z^2 - log (1 + \alpha^2) - log (\vert \alpha \vert z) < 0 \] \[ log(\sqrt{\frac{2}{\pi}}) - \frac{1}{2} \alpha^2 z^2 - log (1 + \alpha^2) - log (\vert \alpha \vert z) ? 0 \] \[ z = 0.7134{exp(-\alpha) - 1}^{0.979} \] \[ log \begin{Bmatrix} \frac{P_i^u (z; \alpha) - \ + F_Z(z)}{1 - F_Z(z)} \end{Bmatrix} \qquad \ for \ \qquad i = 1, 2 \] \[ 1 - F_Z(z) < 2 \frac{\phi (z)}{z} - g (z; \alpha) \qquad \ where \ \qquad \] \[ g(z; \alpha) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\vert \alpha \vert} \frac{ \phi (z \sqrt{1 + \alpha^2})}{(1 + \alpha^2) z^2} - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\vert \alpha \vert} (2 + \frac{1 + \alpha^2}{\alpha^2}) \frac{\phi (z \sqrt{1 + \alpha^2})}{(1 + \alpha^2)^2 z^4} \] \end{document} `

Ottimizzare è un termine estremamente generico: devi essere più specifico nelle richieste. Sicuramente, se il tuo amico facesse la tesi con me non vorrei assolutamente vedere formule non numerate.

Ciao
Claudio

Più che da «ottimizzare», qui c’è da riscrivere tutto daccapo, dopo aver letto almeno la documentazione dei pacchetti amsmath ([tt]texdoc amsmath[/tt]) e mathtools ([tt]texdoc mathtools[/tt]). Elenco alla rinfusa una serie di “brutture” (per non dir di peggio…) che balzano all’occhio anche a una rapida lettura.

1. Imparare a usare gli ambienti di base forniti da amsmath, come [tt]equation[/tt], [tt]gather[/tt], [tt]align[/tt], [tt]multline[/tt] (l’elenco non è completo) e le relative forme asteriscate.
2. Imparare a usare l’ambiente [tt]split[/tt] per spezzare una singola equazione su più righe mantenendo però un unico numero di equazione.
3. Imparare che esiste il comando [tt]\text[/tt] per includere testo descrittivo (come «where») all’interno di formule.
4. Imparare a usare con giudizio il comando [tt]\,[/tt]. Qui si apre anche una discussione delicata circa il modo in cui scrivere i differenziali e gli integrali: io scrivo semplicemente`f'(x) = \frac{df}{dx}`e`\int_{a}^{b}f(x)\,dx`o simili: c’è chi mi fucilerebbe per questo, e io sono disposto a farmi fucilare, ma non cambio idea (con tanti saluti postumi all’ISO). Però`\int_{a}^{b}f(x) dx`non lo posso proprio vedere!
5. Imparare a usare (anche qui, con giudizio) i costrutti [tt]\left( … \right)[/tt], [tt]\bigl[ … \bigr][/tt], [tt]\biggl\{ … \biggr\}[/tt], solo per citarne alcuni (e non [tt]\begin{Bmatrix} … \end{Bmatrix}[/tt]!), per dimensionare correttamente i vari tipi di parentesi che racchiudono una sottoespressione.
6. Collegato al punto precedente: imparare la differenza che passa tra [tt]|x|[/tt] (o [tt]\vert x\vert[/tt]) e [tt]\lvert x\rvert[/tt].
7. A sua volta collegato col punto precedente: imparare almeno l’uso di base della dichiarazione [tt]\DeclarePairedDelimiter[/tt] del pacchetto mathtools per definire comandi orientati alla semantica, come, per esempio, un comando [tt]\abs[/tt] da usarsi in contesti quali [tt]\abs{x}[/tt] o [tt]\abs*{\frac{a}{b}}[/tt].
8. Imparare che non esiste solo [tt]\lim[/tt], ma anche [tt]\log[/tt] ed [tt]\exp[/tt] (e molti altri).
9. (Basta, sono stanco…)

Ciao.

—
Gustavo