Paolo

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Ciao e grazie per aver risposto. Ci ho provato a fare come hai detto tu solo che quando lancio il comando bibtex dal prompt dei comandi mi restituisce tre errori perché dice che non trova le referenze nel file ausiliario .aux

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grazie per avere risposto ragazzi. Io uso il comando `\pgfuseimage` del pagghetto pgf perché con includegraphics non mette mai la figura dove voglio io (anche se nelle opzioni metto il ! mi ritrovo la figura in un posto differente da quello che intendo). Con tikz ci faccio i diagrammi commutativi.
Con il comando `\captionof` riesco a popolare la pagina contenente la lista delle figure o questa cosa funziona solo in ambiente flottante?

Già che ci sono vorrei chiedere se potreste gentilmente indicarmi come si contattano i moderatori perché non trovo la funzione messaggio privato.

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grazie per aver risposto ragazzi. Io ho rilevato il problema per la prima volta quando avevo scritto la tesi di laurea. Dopo vendetti l’iPad e presi un tablet Android. Ho riscontrato lo stesso problema con questo documento:

http://www.greenteapress.com/thinkpython/

di cui potete scaricare gratuitamente il sorgente in fondo alla pagina.

Praticamente, come scritto nel primo post, c’era la sovrapposizione dei caratteri che rendeva impossibile la lettura. Sapreste suggerirmi come si dovrebbe modificare il preambolo per avere una corretta visualizzazione?

Grazie

::

Posto il codice per intero allora . Guardate il corollario C XVII all’inizio

`\documentclass[a4paper,11pt]{report}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{pgf,pgfarrows,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps,pgfshade}
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\usepackage{empheq}

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\newtheorem*{teo}{Teorema}
\newtheorem*{cor}{Corollario}
\newtheorem*{post}{Postulato}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defn}{Definizione}

\begin{document}
\title{Progetto Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore}
\author{Paolo Piersanti}
\date{\today}
\maketitle
\chapter*{Le Superfici piane}
\section*{Introduzione}
In questa sezione parleremo delle superfici piane. Saranno date in primo luogo le principali definizioni.
I teoremi dimostrati sono di natura operativa e quindi riconducibili alle note formule del calcolo delle
superfici. Si farà uso di alcuni postulati molto intuitivi per provare dei celeberrimi risultati come
ad esempio i due teoremi di Euclide e il teorema di Pitagora.

Cominciamo con il provare questo risultato.

\begin{cor}[C XVII]\label{C XVII}
Se un angolo insiste su una semicirconferenza allora è retto.
\end{cor}
\begin{proof}
Consideriamo un angolo $\alpha$ che insiste su una semicirconferenza come quello seguente

\begin{center}
\pgfuseimage{clip1}
\end{center}

\noindent{Dobbiamo dimostrare che $\alpha\cong\hat{R}$.} Per il Teorema XCIII ogni angolo alla circonferenza è \ref{C XVII}
congruente alla metà dell'angolo al centro corrispondente, cioè $$\alpha\cong\frac{1}{2}\beta$$
Di conseguenza, essendo, per costruzione, $\beta\cong\hat{P} \Rightarrow \alpha\cong\frac{1}{2}\hat{P}
\cong\hat{R}$. Il corollario è quindi dimostrato.
\end{proof}

\begin{defn}[D I]
Una \underline{'superficie piana limitata'} è una figura piana costituita da una regione di piano
delimitata da una linea chiusa oppure da due o più linee chiuse che non si intersecano
\end{defn}

\noindent{Vediamo qui di seguito alcuni esempi di superfici piane.}

\begin{center}
\pgfuseimage{clip2}
\end{center}

\begin{center}
\pgfuseimage{clip3}
\end{center}

\begin{defn}[D II]
Due superfici aventi la stessa estensione si dicono \underline{'equivalenti'}
\end{defn}

\noindent{Indicheremo l'equivalenza tra superfici con il simbolo $\doteq$}
\newpage
\noindent{L'equivalenza tra superfici gode delle seguenti proprietà:}
\begin{itemize}
\item{riflessiva}
\item{simmetrica}
\item{transitiva}
\end{itemize}

\noindent{Quindi l'equivalenza tra superfici è una realzione di equivalenza.}

\begin{defn}[D III]
Chaimeremo \underline{'area'} la caratteristica comune delle superfici che appartengono alla stessa
classe di equivalenza.
\end{defn}

\begin{post}[P XXXI]\label{P XXXI}
Due superfici congruenti sono equivalenti.
\'E possibile definire la somma di due superfici $\mathscr{S}$ ed $\mathscr{L}$ quando queste non hanno
punti in comune oppure hanno in comune solamente punti appartenenti slle linee che le delimitano.
\end{post}

\noindent{Da questo postulato possiamo evincere che:}
\begin{itemize}
\item{le linee hanno area nulla}
\item{se due figure sono congruenti $\Rightarrow$ hanno la stessa area}
\end{itemize}

\begin{defn}[D IV]
La \underline{'somma di due superfici'} $\mathscr{S}$ ed $\mathscr{L}$, indicata con
$\mathscr{S} +~\mathscr{L}$ è la superficie $\mathscr{R}$ ottenuta come unione dei punti di $\mathscr{S}$
ed $\mathscr{L}$. Scriveremo $$\mathscr{R}\doteq\mathscr{S} + \mathscr{L}$$

\noindent{Se $\mathscr{R}\doteq\mathscr{S} + \mathscr{L}$ allora diremo che $\mathscr{S}$ ed $\mathscr{L}$
sono \underline{'parti di $\mathscr{R}$'}. }
\end{defn}

\noindent{La somma di due superfici gode della proprietà associativa e commutativa.}
Se $\mathscr{R}\doteq \mathscr{S} + \mathscr{L}$ chiameremo $\mathscr{S}$ \underline{'differenza tra
$\mathscr{R}$ ed $\mathscr{L}$'} e la indichiamo $$\mathscr{S}\doteq\mathscr{R}-\mathscr{L}$$

\begin{post}[P XXXII]\label{P XXXII}
Superfici ottenute come somma o differenza di superfici rispettivamente equivalenti sono ancora
equivalenti.
\end{post}

\noindent{Se $\mathscr{A}\doteq\mathscr{A'}$ e $\mathscr{B}\doteq\mathscr{B'}$ allora $ \mathscr{A}+
\mathscr{B}\doteq\mathscr{A'}+\mathscr{B'}$ e $\mathscr{A} – \mathscr{B}\doteq \mathscr{A'} –
\mathscr{B'}$}

\noindent{Da quest'ultimo postulato risulta che due poligoni equicomposti sono equivalenti.}
Dalla figura seguente possiamo evincere che, essendo $\mathscr{A}\doteq\mathscr{A'}$ e $\mathscr{B}
\doteq\mathscr{B'}$, necessariamente $\mathscr{C}\doteq\mathscr{D}$.

\begin{center}
\pgfuseimage{clip5}
\end{center}

\begin{post}[P XXXIII]
Una superficie non può essere equivalente ad una sua parte.
\end{post}

\begin{defn}[V]
Una superficie $\mathscr{A}$ si dice \underline{'maggiore di una superficie $\mathscr{B}$'}
se $\mathscr{B}$ è equivalente ad una parte di $\mathscr{A}$ e scriveremo
$$\mathscr{A} > \mathscr{B}$$
\end{defn}

\noindent{Proponiamo un esempio grafico.} Nella figura seguente risulta $\mathscr{C}\doteq\mathscr{B}$ quindi,
essendo $\mathscr{A} > \mathscr{C}$ risulta $\mathscr{A} > \mathscr{B}$

\begin{center}
\pgfuseimage{clip4}
\end{center}

\noindent{Presentiamo ora dei risultati operativi per il calcolo delle superfici dei poligoni.}
Cominciamo col vedere il teorema che fornisce la formula per il calcolo della superficie di un
parallelogramma.

\begin{teo}[T XCIV]
\label{TXCIV}
Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze corrispondenti, allora sono equivalenti.
\end{teo}
\begin{proof}
Consideriamo i due parallelogrammi in figura $ABCD$ e $ILMN$ e tracciamone le altezze $CH$ e $KM$ rispettivamente.
Per ipotesi risulta $AB\cong IL$ e $CH\cong KM$.
\begin{center}
\pgfuseimage{clip6_1}
\pgfuseimage{clip6_2}
\end{center}

\noindent{Le due basi si possono sovrapporre in quanto le altezze sono congruenti.}Otteniamo un oggetto
simile a quello della figura che segue
\begin{center}
\pgfuseimage{clip7}
\end{center}

\noindent{Possiamo distinguere tre casi:}
\begin{itemize}
\newpage
\item{\underline{caso 1}}
\begin{center}
\pgfuseimage{clip8}
\end{center}
\item{\underline{caso 2}}
\begin{center}
\pgfuseimage{clip9}
\end{center}
\newpage
\item{\underline{caso 3}}
\begin{center}
\pgfuseimage{clip10}
\end{center}
\end{itemize}
\noindent{Sia $\mathscr{A}$ la superficie del primo parallelogramma e $\mathscr{B}$ quella del secondo.}
\begin{itemize}
\item{caso 1}
$$\mathscr{A}\doteq\mathscr{Q}+\mathscr{P}$$
$$\mathscr{B}\doteq\mathscr{P}+\mathscr{S}$$

\noindent{Occorre dimostrare che $\mathscr{Q}\doteq\mathscr{S}$, cioè che i due triangoli sono congruenti.}

\item{caso 2}
$$\mathscr{A}\doteq\mathscr{Q}+\mathscr{P}$$
$$\mathscr{B}\doteq\mathscr{P}+\mathscr{S}$$
\noindent{Occorre dimostrare che $\mathscr{Q}\doteq\mathscr{S}$}

\item{caso 3}
$$\mathscr{A}\doteq\mathscr{Q}+\mathscr{P}-\mathscr{V}$$
$$\mathscr{B}\doteq\mathscr{P}+\mathscr{S}-\mathscr{V}$$
\noindent{Occorre dimostrare che $\mathscr{Q}\doteq\mathscr{S}$}
\end{itemize}

\noindent{Allora non è necessario distinguere i tre casi separatamente.}
Posso quindi lavorare su un parallelogramma come quello della seguente figura
\begin{center}
\pgfuseimage{clip11}
\end{center}

\noindent{Si ha che:}
\begin{itemize}
\item{$AD\cong BC$ perché lati opposti di un parallelogramma;}
\item{$AN\cong BM$ perché lati opposti di un parallelogramma;}
\item{$\alpha \cong \alpha'$ poiché $AD//BC$ e $AN//BM$ ed inoltre
questi lati sono concordi (cioè i lati paralleli appartengono allo stesso parallelogramma);}
\end{itemize}
\noindent {allora i triangoli $ADN$ e $BMC$ sono congruenti in virtù del primo criterio di conguruenza, allora
le rispettive superfici sono equivalenti ed il teorema è dimostrato.}
\end{proof}

\noindent{Da quest'ultimo risultato possiamo deudrre la formula per il calcolo della superficie di un
parallelogramma}

\begin{center}
\begin{empheq}[box=%
\fbox]{align*}
S = B h
\end{empheq}
\end{center}

\noindent{Vediamo ora un teorema che fornisce la formula per il calcolo della superficie di un triangolo
qualunque}
\begin{teo}[T XCV]\label{T XCV}
Un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo
e base congruente a metà della base del triangolo.
\end{teo}
\begin{proof}
Costruiamo un triangolo ed un parallelogramma sfruttando le ipotesi del teorema come nella seguente
figura
\begin{center}
\pgfuseimage{clip12}
\end{center}

\noindent{Tracciamo la semiretta di origine $C$ e parallela alla retta passante per $A$ e $B$ ed
indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $AB$}. Si otterrà una figura simile a quella della figura
seguente

\begin{center}
\pgfuseimage{clip13}
\end{center}

\noindent{Conduciamo dal punto $M$ la parallela alla retta passante per i punti $A$ e $C$, essa incontra
la semiretta $a$ nel punto $L$.} Il quadrilatero $AMLC$ è un parallelogramma perché ha lati opposti
paralleli per costruzione ed è equivalente al parallelogramma $DEFK$ per il teorema (TXCIV).
Consideriamo i triangoli $MBN$ e $LNC$. Possiamo dire che:
\begin{itemize}
\item{$MB\cong CL$ poiché lati opposti in un parallelogramma;}
\item{$\alpha\cong\alpha'$ perché sono angoli alterni interni formati in questo modo: si traccia
la retta passante per i punti$A$ e $B$ e la retta passante per i punti $C$ ed $L$ (tali rette sono parallele
perché su di esse giaciono i lati opposti del parallelogramma) e si tagliano con la trasversale condotta
per i punti $B$ ed $C$;}
\item{$\beta\cong\beta'$ poichè sono angoli alterni interni formati dalle stesse rette parallele del
punto precedente e tagliate dalla trasversale condotta per i punti $B$ e $L$;}
\end{itemize}

\noindent{Allora per il secondo criterio di congruenza si ha che il triangolo $MBN$ è congruente al
triangolo $CLN$.}
\begin{center}
\pgfuseimage{clip14}
\end{center}

\noindent{Sia $\mathscr{A}$ la superficie del triangolo $ABC$ e sia $\mathscr{B}$ la superficie
del parallelogramma $AMLC$.} Consideriamo la seguente figura in cui si individuano le superfici atomiche
$\mathscr{S}$, $\mathscr{P}$, $\mathscr{Q}$. Dalla congruenza dei triangoli $MBN$ e $CLN$ si ha che
$\mathscr{P}\doteq\mathscr{Q}$ per il postulato (P XXXI). Inoltre vale $$\mathscr{A}\doteq
\mathscr{S}+\mathscr{Q}$$ $$\mathscr{B}\doteq\mathscr{S}+\mathscr{P}$$

\noindent{Quindi risulta $\mathscr{A}\doteq\mathscr{B}$ perché somma di superfici equivalenti
(P XXXII).} Sia $\mathscr{C}$ la superficie del parallelogramma $DEFK$. Per csotruzione risulta
$$\mathscr{C}\doteq\mathscr{B}$$

\noindent{dalla rpoprietà transitiva risulta $\mathscr{A}\doteq\mathscr{C}$.} Quindi il teorema è
dimostrato.

\end{proof}

\noindent{Da questo teorema possiamo evincere la formula per il calcolo della superficie di un triangolo
qualunque}
\begin{center}
\begin{empheq}[box=%
\fbox]{align*}
S = \frac{B h}{2}
\end{empheq}
\end{center}

\noindent{Vediamo ora un corollario di questo teorema che dimostra l'equivalenza di due triangoli aventi
le basi e le altezze rispettivamente congruenti.}

\begin{cor}[C XVIII]\label{C XVIII}
Se due triangoli hanno congruenti le basi e le rispettive altezze allora sono equivalenti.
\end{cor}
\begin{proof}
Consideriamo due triangoli aventi basi e altexzze rispettivamente congruenti come quelli in figura

\begin{center}
\pgfuseimage{clip15}
\end{center}

\noindent{Risulta $AB\cong DE$ e $CH\cong FK$.} Consideriamo il parallelogramma $GNIL$ come quello in
figura

\begin{center}
\pgfuseimage{clip16}
\end{center}

\noindent{Risulta} $$FK\cong LZ\cong CH$$ $$\frac{1}{2}DE\cong GN \cong \frac{1}{2}AB$$

\noindent{Valgono le seguenti equivalenze} $$\mathscr{S}\doteq \mathscr{P}$$ $$\mathscr{Q}\doteq\mathscr{P}$$
\noindent{Allora risulta $\mathscr{S}\doteq\mathscr{Q}$} per la rpoperità transitiva. Il corollario è
dunque dimostrato.
\end{proof}

\noindent{Il prossimo risultato fornisce la formula per il calcolo della superificie di un trapezio
qualunque.}

\begin{teo}[T XCVI]
Un generico trapezio è equivalente ad un triangolo avente l'altezza congruente a quella del trapezio e
la base congruente alla somma delle basi del trapezio.
\end{teo}
\begin{proof}
Consideriamo un generico trapezio $ABCD$
\begin{center}
\pgfuseimage{clip17}
\end{center}
\noindent{ed il triangolo $EFG$ avente la base congruente alla somma delle basi del trapezio
e l'altezza congruente all'altezza dello stesso trapezio.}
\begin{center}
\pgfuseimage{clip18}
\end{center}
\noindent{Risulta $DH\cong KG$ e $EF\cong AB+DC$.}
Focalizziamo la nostra attenzione sul trapezio $ABCD$; prolunghiamo la base $AB$ di un segmento $BM\cong CD$
e conginugiamo i punti $M$ e $D$; il segmento $MD$ interseca il segmento $BC$ nel punto $N$
come mostrato nella seguente figura.
\begin{center}
\pgfuseimage{clip19}
\end{center}

\noindent{I triangoli $AMD$ e $EFG$ sono equivalenti perché hanno basi e altezze rispettivamente
congruenti.} Allora le superfici sono equivalenti per il corollario (C XVIII). Consideriamo i
triangoli $NDC$ e $BMN$, risulta:
\begin{itemize}
\item{$DC\cong BM$ per costruzione};
\item{$\alpha\cong\alpha'$ perchè sono angoli alterni interni formati tagliando la retta
passante per i punti $D$ e $C$ e la retta passante per i punti $A$ e $M$ con una retta trasversale
condotta per i punti $D$ e $M$. Le prime due rette risultano essere parallele perché su di esse giaciono
le basi del trapezio che per definizione sono parallele quindi sono congruenti anche $\alpha$ e $\alpha'$;}
\item{$\beta\cong\beta'$ perché sono angoli alterni interni formati dalle stesse rette parallele del caso
precedente che stavolta però sono tagliate dalla retta trasversale passante per i punti $B$ e $C$;}
\end{itemize}
\noindent{allora per il secondo criterio di conguruenza risulta che il triangolo $NDC$ è congruente
al triangolo $BMN$}. Sia $\mathscr{A}$ la superficie del trapezio $ABCD$, sia $\mathscr{B}$ la
superficie del triangolo $AMD$, sia $\mathscr{C}$ la superficie del triangolo $EFG$. Si ha che
$$\mathscr{A}\doteq\mathscr{S}+\mathscr{Q}$$ $$\mathscr{B}\doteq\mathscr{S}+\mathscr{P}$$
\noindent{ciò implica} $$\mathscr{A}\doteq\mathscr{B}$$
\noindent{D'altra parte deve essere $\mathscr{B}\doteq\mathscr{C}$ per il teorema (T XCV).}
Allora risulta $\mathscr{A}\doteq\mathscr{C}$ per la proprietà transitiva
e il teorema è dunque dimostrato.
\end{proof}

\begin{center}
\begin{empheq}[box=%
\fbox]{align*}
S = \frac{(B+b) h}{2}
\end{empheq}
\end{center}

\noindent{Dopo quest'ultima dimostrazione abbiamo tutti gli strumenti per
poter dimostrare uno dei risultati celeberrimi di questo paragrafo: il Primo Teorema di Euclide.} Tale
teorema è molto importante perché ci permette di dimostrare facilmente l'ancor più noto Teorema di
Pitagora il quale fornisce gli strumenti che rendono più agevole la dimostrazione del Secondo Teorema
di Euclide.

\begin{teo}[T XCVII Primo Teorema di Euclide]\label{Euclide}
in ogni triangolo rettangolo il quadrato csotruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i
lati congruenti all'ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto (sul quale è costruitto
il quadrato) sull'ipotenusa.
\end{teo}
\begin{proof}
Consideriamo la seguente figura che nasce dalle ipotesi forniteci dal teorema
\begin{center}
\pgfuseimage{clip20}
\end{center}
\noindent{Risulta
\begin{align*}
\tau &\cong \hat{R} \\
AF &\cong AB \\
EA &\cong AC
\end{align*}
Dobbiamo dimostrare che $\mathscr{Q}\doteq\mathscr{R}$.} Prolunghiamo i lati $AF$ e $GH$ del rettangolo
$AFGH$ fino ad incontrare il prolungamento del lato $ED$ rispettivamente nei punti $M$ e $N$ come in
figura.
\begin{center}
\pgfuseimage{clip21}
\end{center}

\noindent{Consideriamo i triangoli $AEM$ e $ABC$}. Risulta
\begin{itemize}
\item{$EA\cong AC$ per costruzione;}
\item{$\tau\cong\tau'\cong\hat{R}$ per costruzione}
\item{$\alpha\cong\alpha'$ poiché sono complementari dello stesso angolo $\beta$, infatti risulta
$\alpha+\beta\cong\hat{R}\cong\alpha'+\beta'$}
\end{itemize}
\noindent{allora per il secondo criterio di congruenza i triangoli $ABC$ e $AEM$ sono congruenti.} In
particolare $AM\cong AB \Rightarrow AM\cong AF$. Il quadrilatero $AMNC$ è un parallelogramma perché ha i
lati opposti paralleli in quanto nascono prolungando lati paralleli. Indichiamo con $\mathscr{P}$ l'area
di tale parallelogramma. Il parallelogramma $ACNM$ ed il quadrato $ACDE$ hanno la stessa base $AC$ e la
stessa altezza $EA$ quindi, essendo il quadrato un particolare tipo di parallelogramma, applicando il
teorema (TXCIV) risulta $$\mathscr{Q}\doteq\mathscr{P}$$

\noindent{Il parallelogramma $ACN$ ed il rettangolo $AFGH$ hanno le rispettive basi $AM$ e $AF$
congruenti ed hanno in comune l'altezza $AH$ di misura $h$.} Quindi, applicando il
teorema (TXCIV) risulta $$\mathscr{R}\doteq\mathscr{P}$$

\noindent{Allora, applicando la proprietà transitiva, si deduce} $$\mathscr{Q}\doteq\mathscr{R}$$
\noindent{Il teorema è così dimostrato.}
\end{proof}
\newpage
\begin{teo}[T XCVIII di Pitagora]
\label{Pitagora}
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sui cateti.
\end{teo}
\begin{proof}
Costruiamo la seguente figura a partire dalle ipotesi forniteci dal teorema
\begin{center}
\pgfuseimage{clip22}
\end{center}
\noindent{Per il Primo Teorema di Euclide} risulta $$\mathscr{Q}_1\doteq\mathscr{R}_1$$
$$\mathscr{Q}_2\doteq\mathscr{R}_2$$

\noindent{Essendo} $$\mathscr{Q}_3\doteq\mathscr{Q}_1+\mathscr{Q}_2$$
\noindent{risulta che $\mathscr{Q}_3\doteq\mathscr{Q}_1+\mathscr{Q}_2$}. Il teorema è quindi dimostrato.
\end{proof}

\begin{teo}[T XCIX Secondo Teorema di Euclide]
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente
al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
\end{teo}
\begin{proof}
Costruiamo la seguente figura basandoci sull'enunciato del teorema
\begin{center}
\pgfuseimage{clip23}
\end{center}
\noindent{Risulta, per ipotesi
\begin{align*}
\tau &\cong \hat{R}\\
AD &\cong AE \\
AH &\cong AF \\
FD &\cong HB \\
\end{align*}
Dobbiamo dimostrare che $\mathscr{Q}\doteq\mathscr{R}$}. Per il teorema di Pitagora risulta
$$\mathscr{Q}_1\doteq\mathscr{Q}+\mathscr{Q}_2$$
\noindent{Per il Primo Teorema di euclide risulta} $$\mathscr{Q}_1\doteq\mathscr{Q}_2+\mathscr{R}$$
\noindent{Pertanto} $$\mathscr{Q}+\mathscr{Q}_2\doteq\mathscr{Q}_2+\mathscr{R} \Rightarrow \mathscr{Q}
\doteq\mathscr{R}$$
\noindent{Il teorema è così provato.}
\end{proof}

\end{document}

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