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Ciao, innanzitutto ti dico che ho sbagliato a scrivere; il mio codice è con dei \paragraph, ma il problema si presenta sia con \paragraph sia con \subparagraph…
Poi ovviamente nel mio articolo ho section e subsection, e nelle note c’è più testo, ma ho pensato di scartare tutto il non necessario per focalizzare l’attenzione sul problema.
Comunque qui invio codice con più testo
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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\begin{document}
\section{Introduzione di nuove variabili}
Lavoriamo ora con delle nuove variabili; tramite queste potremo fare un confronto diretto con il lavoro di Casadio e Orlandi.
Raccolgo qui delle brevi relazioni tra queste variabili. Tali formule che ci saranno utili nel seguito. Alcune di queste relazioni potrebbero essere modificate giungendo a risultati diversi.
\[
l \simeq \frac{\hbar}{\mu}= l_P \frac{m_P}{\mu}
\qquad
\alpha = \frac{l_{P}^2}{l^2}= \frac{\mu^2}{m_{P}^2}
\qquad
N \alpha =1
\qquad
M=N \mu
\]
dove $\alpha$ è una \emph{costante di accopiamento} $l_P$ e $m_P$ sono rispettivamente la \emph{lunghezza} e la \emph{massa di Planck}, mentre $l$ è una lunghezza caratteristica, che si può pensare come il raggio di una “palla” di bosoni, dotati ciascuno di una \emph{massa effettiva} $\mu$, che interagiscono gravitazionalmente; $N$ è un \emph{numero intero} che rappresenta il numero (minimo) di questi bosoni; $M=N \mu$ è quindi la massa totale dell’insieme dei bosoni; essi creano un potenziale gravitazionale che impedisce ai bosoni costituenti di allontanarsi.
\subsection{Condizione sul potenziale}
\emph{Assumiamo} ora di fissare questo potenziale nell’origine, imponendo
\[
V(0)=- M \alpha =- N \mu \alpha
\]
vediamo che implicazioni si hanno nei due casi studiati.
\paragraph{Potenziale armonico}
\footnote{per brevità riporterò solo i risultati (e non i calcoli espliciti) riguardanti l’articolo di Casadio-Orlandi.}
Considerando il potenziale armonico, studiato da Casadio-Orlandi, così definito
\[
V(r)=\frac{1}{2} \mu \omega^2 (r^2-d^2) \, \Theta(d-r)
\]
dove $\Theta(x)$ è la \emph{funzione a gradino di Heaviside} e $d$ rappresenta la \emph{larghezza} del potenziale.
\\Loro assumono che \emph{massa effettiva} $\mu$ e \emph{frequenza} $\omega$ di un singolo gravitone siano così relazionati:
\[
\mu = \hbar \omega
\]
Imponendo che $V(0)=- N \mu \alpha$ si ottiene la condizione
\[
d = \sqrt{2 N \alpha} \, l = \sqrt{2 N} \, l_P
\]
\paragraph{Potenziale di Libofz}
Nel nostro caso abbiamo il potenziale …
\end{document}
`
Non ho scritto tutti i pacchetti caricati, ma il problema non dovrebbe dipendere da questi, in quanto nell’esempio minimale che riportavo iniziavo semplicemente con
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[italian]{babel}
\begin{document}
Grazie dell’attenzione, ciao!
P.S.
grazie anche per il suggerimento dell’icona “code”
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