Luca

riporto un esempio:

`
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\begin{document}
\subsection{Interpolazione polinomiale}
Dati $n$ punti di coordinate $(x_{i},y_{i})$, \`e possibile trovare un polinomio $P(x)$ di grado $n-1$, nella forma $a_{0}x^{n-1}+a_{1}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_{n}$, passante per tutti i punti. Tale problema si riduce alla soluzione di un sistema di $n$ equazioni linearmente indipendenti in $n$ incognite che per il Teorema di Rouch\'e-Capelli ammette una ed una soluzione $S = \lbrace a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}, a_{n} \rbrace$ dove $a_{0}, \ldots, a_{n}$ sono i coefficienti del polinomio $P(x)$.

\definecolor{shadecolor}{gray}{0.90}
\begin{shaded}
\underline{Esercizio}:

\begin{quote}
Siano:

\begin{math}
A=(-5,+5)\newline
B=(-3,+0)\newline
C=(-2,+1)\newline
D=(+3,-4)\newline
E=(+4,-1)\newline
\end{math}

i punti per cui passa il nostro polinomio $P(x)$.

Calcolare $P(x)$.
\end{quote}

\underline{Soluzione}:

\begin{quote}
Si imposta il sistema lineare di $5$ equazioni in $5$ incognite, che per semplicit\`a di calcolo denoteremo con $a, b, c, d, e$. La generica equazione $y_{i}$ sar\`a del tipo:

$y_{i}=ax_{i}^{4}+bx_{i}^{3}+cx_{i}^{2}+dx_{i}+e$.

Si ha quindi il sistema lineare:

\begin{math}
\begin{cases}
+5= a(-5)^{4} +b(-5)^{3} +c(-5)^{2} +d(-5) +e\\
+0= a(-3)^{4} +b(-3)^{3} +c(-3)^{2} +d(-3) +e\\
+1= a(-2)^{4} +b(-2)^{3} +c(-2)^{2} +d(-2) +e\\
-4= a(+3)^{4} +b(+3)^{3} +c(+3)^{2} +d(+3) +e\\
-1= a(+4)^{4} +b(+4)^{3} +c(+4)^{2} +d(+4) +e\\
\end{cases}
\Rightarrow
\end{math}

composto da cinque equazioni linearmente indipendenti. Semplificando, si ottiene il sistema:

\begin{math}
\begin{cases}
+5= +625a -125b +25c -5d +e\\
+0= + 81a – 27b + 9c -3d +e\\
+1= + 16a – 8b + 4c -2d +e\\
-4= + 81a + 27b + 9c +3d +e\\
-1= +256a + 64b +16c +4d +e\\
\end{cases}
\Rightarrow
\end{math}

che ha come matrice associata la matrice $A$, e come vettore dei termini noti il vettore $B$:

\begin{math}
A=
\begin{pmatrix}
+625 & -125 & +25 & -5 & +1 \\
+ 81 & – 27 & + 9 & -3 & +1 \\
+ 16 & – 8 & + 4 & -2 & +1 \\
+ 81 & + 27 & + 9 & +3 & +1 \\
+256 & + 64 & +16 & +4 & +1 \\
\end{pmatrix}
B=
\begin{pmatrix}
+5 \\
+0 \\
+1 \\
-4 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
\Rightarrow
\end{math}

Utilizzando ricorsivamente il 1° Teorema di Laplace\footnotemark[1], si calcola il determinante della matrice $A$:

$\det(A)=544320$\\
\footnotetext[1]{Per il calcolo delle matrici $A, \alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$, tutte di dimensione $5 \times 5$, si \`e utilizzato il software opensource \emph{Octave}, Ver. 2.1.73 . Tale software \`e rilasciato sotto GNU/GPL ed \`e disponibile al sito \url{http://www.octave.org}.}

Di conseguenza, si costruiscono le matrici $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ secondo la Regola di Cramer:

\begin{math}
\alpha =
\Biggl( \begin{smallmatrix}
5 & -125 & 25 & -5 & 1 \\
0 & – 27 & 9 & -3 & 1 \\
1 & – 8 & 4 & -2 & 1 \\
-4 & 27 & 9 & 3 & 1 \\
-1 & 64 & 16 & 4 & 1 \\
\end{smallmatrix} \Bigg)
\newline
\beta =
\Biggl( \begin{smallmatrix}
625 & 5 & 25 & -5 & 1 \\
81 & 0 & 9 & -3 & 1 \\
16 & 1 & 4 & -2 & 1 \\
81 & -4 & 9 & 3 & 1 \\
256 & -1 & 16 & 4 & 1 \\
\end{smallmatrix} \Bigg)
\newline
\gamma =
\Biggl( \begin{smallmatrix}
625 & -125 & 5 & -5 & 1 \\
81 & – 27 & 0 & -3 & 1 \\
16 & – 8 & 1 & -2 & 1 \\
81 & 27 & -4 & 3 & 1 \\
256 & 64 & -1 & 4 & 1 \\
\end{smallmatrix} \Bigg)
\newline
\delta =
\Biggl( \begin{smallmatrix}
625 & -125 & 25 & 5 & 1 \\
81 & – 27 & 9 & 0 & 1 \\
16 & – 8 & 4 & 1 & 1 \\
81 & 27 & 9 & -4 & 1 \\
256 & 64 & 16 & -1 & 1 \\
\end{smallmatrix} \Bigg)
\newline
\varepsilon =
\Biggl( \begin{smallmatrix}
625 & -125 & 25 & -5 & 5 \\
81 & – 27 & 9 & -3 & 0 \\
16 & – 8 & 4 & -2 & 1 \\
81 & 27 & 9 & 3 & -4 \\
256 & 64 & 16 & 4 & -1 \\
\end{smallmatrix} \Bigg)
\end{math}

A questo punto \`e possibile determinare $a, b, c, d, e$ applicando semplicemente la Regola di Cramer:

\begin{math}
a = \dfrac{\det(\alpha )}{\det(A)} = \dfrac{ 19980}{544320} = 0.036706 \newline
b = \dfrac{\det(\beta )}{\det(A)} = \dfrac{ 37800}{544320} = 0.069444 \newline
c = \dfrac{\det(\gamma )}{\det(A)} = \dfrac{-365580}{544320} = -0.671630 \newline
d = \dfrac{\det(\delta )}{\det(A)} = \dfrac{-703080}{544320} = -1.291700 \newline
e = \dfrac{\det(\varepsilon)}{\det(A)} = \dfrac{ 583200}{544320} = 1.071400 \newline
\end{math}

ottenendo cos\`i il polinomio $P(x)$ interpolante tutti i punti $A, B, C, D, E$:

\begin{math}
P(x) = \newline
0.036706x^{4}+0.069444x^{3}-0.671630x^{2}-1.291700x+1.071400 \newline
\end{math}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{/root/Desktop/Luca/works/appuntimatematica/immagini/interpolazione_polinomiale.png}
\end{center}
\end{quote}
\end{shaded}
\end{document}
`

compilando in pdflatex tra la prima e la seconda pagina la larghezza dell’area in grigio si riduce, seguendo il quote, mentre tra la seconda e la terza no. dove ho sbagliato?
🙄

inoltre ho notato un altro problema: la nota a pie’ di pagina scompare, e non è bello…

a proposito, secondo voi il resto del codice è scritto decentemente?
grazie grazie grazie.

ho provato questa soluzione e per brevi porzioni di testo è ottima. 😀
ma c’è il modo di permettere al riquadro di “spezzarsi” tra le pagine? ❓

abbi pazienza, l’avevo saltato completamente…
peto veniam…
grazie. 8)

ottima soluzione, ma mi chiedevo se fosse anche possibile permettere agli indirizzi lunghi di andare a capo con una divisione in sillabe.
uso kile e mi trovo benissimo, solo che quando ho un indirizzo troppo lungo, nel file pdf risultante dalla compilazione l’indirizzo “sfora” il margine destro della pagina e non va accapo. 😯
c’è soluzione? grazie.