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OldClaudio” post=109090
La dimostrazione di Kummer si basa su una affermazione non dimostrata e non intuitiva, che N-1 sia un prodotto di primi, mi pare che sia addirittura sbagliata.
No, la dimostrazione è corretta! Paulo Ribenboim in “The Book of Prime Number Records” (Springer) scrive a proposito della dimostrazione di Kummer: “This proof, by an eminent mathematician, is like a pearl, round, bright, and beautiful in its simplicity”.
Il teorema fondamentale dell’aritmetica afferma che “Ogni numero naturale > 1 si può esprimere in un unico modo, a meno dell’ordine dei fattori, come prodotto di numeri primi”. Dunque Kummer non si basa su un’affermazione non infondata. E direi che non è nemmeno “non intuitiva”: se un numero intero > 1 non è primo allora è composto e dunque è prodotto di due numeri interi > 1 che potranno essere primi (fine!) oppure composti (e dunque ripetiamo il ragionamento) oppure uno primo e l’altro composto. La parte difficile da dimostrare nel teorema fondamentale dell’aritmetica riguarda l’unicità della scomposizione, non l’esistenza della stessa.
Ciao.
Claudio
::lorenzo.pantieri” post=109089
Definizione. Un numero primo $p$ è un intero maggiore di $1$ i cui unici divisori positivi sono $1$ e $p$.
Teorema. I numeri primi sono infiniti.
Dimostrazione.
[ol]
[li]Procedo per assurdo. Assumo che i numeri primi siano finiti.[/li][li]Se è così, esiste una lista finita di tutti i primi: $p_1$, …, $p_n$. (Se questi primi sono ordinati in ordine crescente, $p_1$ è il più piccolo numero primo, cioè $2$, mentre $p_n$ è “il numero primo più grande di tutti”.)[/li]
[li]Sia $q$ il prodotto di tutti i primi: $q=p_1 \cdot \dots \cdot p_n$.[/li]
[li]Sia $M=q+1$.[/li]
[li]Ora, $M$ non può essere primo: poiché è più grande di $p_1$, … $p_n$, non può stare in quella lista.[/li]
[li]Poiché $M$ non è primo, ci deve essere un primo $p_i$ (necessariamente nella lista) che lo divide.[/li]
[li]Ma $p_i$ divide $q$.[/li]
[li]Poiché se un numero divide due interi, allora divide anche la loro differenza, allora $p_i$, che divide $M$ e $q$, deve dividere $M-q$, cioè $p_i$ deve dividere $1$.[/li]
[li]Assurdo.[/li]
[/ol]Le “vostre” dimostrazioni sono corrette. Ma a mio avviso anche la “mia” lo è. Mi dite di preciso qual è l’errore?
Questa dimostrazione va bene, è quella nell’Arte che è sbagliata perché non puoi concludere che $q+1$ è primo!
Claudio
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Lorenzo,se ti serve una dimostrazione breve puoi utilizzare questa, data da Kummer nel 1878:
Ammettiamo che $p_1 < p_2 < \cdots < p_n$ siano tutti i primi. Sia $N = p_1 p_2 \cdots p_n > 2$. L’intero $N – 1$, essendo prodotto di primi, avrà un divisore $p_i$ in comune con $N$. Quindi $p_i$ divide $N – (N – 1) = 1$, che è assurdo.
Ciao.
Claudio
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1. Voglio dimostrare che i numeri primi sono infiniti.
2. Ammettiamo che siano finiti: $p_1 < ... < p_n$. 3. Sia $q$ il prodotto di tutti i primi: $q=p_1 \cdot \dots \cdot p_n$. 4. Sia $M=q+1$. 5. $M$ sarà un prodotto di numeri primi, necessariamente scelti tra $p_1$, ..., $p_n$. 6. Siccome $p_i$ divide $q$, $p_i$ non può dividere $M$ poiché altrimenti $p_i$ dividerebbe $1 = M - q$. 7. Esiste così un primo diverso da $p_1$, ..., $p_n$. 8. Ciò contraddice il fatto che $p_1$, ..., $p_n$ era la lista di tutti i primi; dunque i primi sono infiniti. Come detto in un'altra risposta $M$ potrebbe essere primo oppure composto (mi sembra sia ancora un problema aperto sapere se esistono infiniti primi della forma $M$), ossia: nel punto 7 il primo potrebbe essere $M$ oppure un altro primo. Ciao. Claudio::lorenzo.pantieri” post=109055
La dimostrazione è sbagliata!
Per assurdo, supponiamo che i numeri primi siano finiti. Allora esiste una lista esaustiva dei primi: $p_1$, \dots, $p_n$. Sia $q$ il loro prodotto. Sia $M=q+1$. Allora $M$ non è primo. Dunque esiste un primo $p_i$ che lo divide. Ma $p_i$ divide $q$. Quindi divide la loro differenza, $1$. Assurdo.
Quindi puoi concludere che esiste un primo, diverso da $p_1$, \dots, $p_n$, ma non necessariamente $M=q+1$ è primo. La dimostrazione a pagina 78 è così sbagliata!
Ciao.Claudio
::lorenzo.pantieri” post=109057
Per esempio:
2*3*5*7*11*13 +1 = 30031 che non è primo poiché 30031=59*509.
Bastava $2\cdot7+1=15$, che non è primo. Ma l’assurdo sta nel supporre di avere trovato una lista di tutti i primi.
Chiaro! Però nel tuo esempio dovevi considerare il prodotto di tutti i primi tra 2 e 7, non solo 2*7!
Se ti interessa: 2*3*5*7 *…*p si chiama primoriale di p (talvolta si indica con p#) ed è una specie di fattoriale per i numeri primi.
::lorenzo.pantieri” post=109051
Ho corretto un errore nella dimostrazione dell’infinità dei numeri primi (a pagina 80). Prima la dimostrazione era sbagliata. Ora dovrebbe essere corretta, per quanto compatta.
La dimostrazione è sbagliata! Se per assurdo assumi che ci sono solo un numero finito di primi (2, 3, …, p) e q = 2 \cdot 3 \cdot … \cdot p allora puoi concludere che: o q+1 è primo oppure q+1 è divisibile per un numero primo diverso da 2, 3, …, p!
Ciao.Claudio
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Prova a leggere qui http://tex.stackexchange.com/questions/141/why-are-some-pages-in-my-pdf-coming-out-bold, magari ti può aiutare.
Ciao.Claudio
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