Andrea Carpignani

OldClaudio” post=77102Fai girare questo semplice file .tex:`% !TEX TS-program = pdflatex
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\begin{document}
\begin{center}
L'algoritmo di Euclide con la disposizione delle divisioni successive di Claudio
\end{center}

L'algoritmo di Euclide serve per trovare il MCD di due numeri interi $N_0$ e $N_1$ e, senza perdita di generalità, assumiamo $N_0 >N_1$. L'algoritmo si svolge come segue:
\begin{equation}
\begin{aligned}
N_0 &= q_1 N_1 + N_2\\
N_1 &= q_2 N_2 + N_3\\
\dots&=\dots \\
N_{n-1}&= q_n N_n +0
\end{aligned}
\end{equation}
dove $q_1, q_2, \dots, q_n$ sono i successivi quozienti interi delle divisioni $N_{i-1}/N_i$ per $i-1, 2,\dots, n$. Risulta che $N_n$ è il MCD dei due primi numeri interi $N_0$ e $N_1$.

Per organizzare le divisioni successive riscrivendo il minimo delle informazioni necessarie si può procedere in verticale eseguendo le divisioni ora da sinistra a destra ora da destra a sinistra, alternativamente. Per lasciare libero il posto in verticale per le sottrazioni necessarie per calcolare i successivi resti, i quozienti vanno messi accanto al divisore.
\begin{equation}\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{array}{r|r|r|l}
& N_0 & & \\\cline{3-4}
& q_1N_1 & N_1 & q_1 \\\cline{1-2}
q_2 & N_2 &q_2N_2 & \\\cline{3-4}
& q_3N_3 & N_3 & q_3 \\\cline{1-2}
\hdotsfor{4} \\\cline{3-4}
& \dots & N_n & q_n \\\cline{1-2}
& 0
\end{array}
\end{equation}

Esempio: determiniamo il MCD fra 2993 e 1095:
\begin{equation}\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{array}{r|r|r|l}
& 2993 & & \\\cline{3-4}
& 2190 &1095 & 2 \\\cline{1-2}
1 & 803 &803 & \\\cline{3-4}
& 584 & 292 & 2 \\\cline{1-2}
1 & 219 & 219 & \\\cline{3-4}
& 219 & 73 & 3 \\\cline{1-2}
& 0 & &
\end{array}
\end{equation}
e il MCD è 73.

Come si vede, con questa disposizione dei calcoli non bisogna ricopiare niente e non sono necessarie frecce per indicare dove riutilizzare i resti come divisori. L'unica cosa a cui bisogna fare l'abitudine è scambiare alternativamente il verso della divisione da sinistra a destra e poi da destra a sinistra, fino a quando si raggiunge il resto nullo.

\end{document}`

e vedi come è semplice descrivere anche graficamente l’algoritmo di Euclide con la mia disposizione dei calcoli.

Caro Claudio,

innanzitutto mi scuso per il ritardo con il quale rispondo: ho avuto due giornate piene e non sono stato in grado di mettere piede sul forum. Il codice che mi hai mandato è veramente molto interessante ed interessante è la soluzione per descrivere l’algoritmo di Euclide. Tra l’altro, leggere il tuo codice insegna pure molto su come si possono comporre le tabelle, sicché ne terrò di conto pure per successive applicazioni.

Grazie davvero di cuore,

Andrea

OldClaudio” post=77081Andrea, la lettura delel guide non è il tuo forete, a quanto pare; il comando per tirare una riga orizzontale che passi sotto alle colonne da n a m è [tt]\cline{m-n}[/tt]

Certo che le spaziature non sono quelle matematiche ma \arraycolsep serve appunto per regolare la semi distanza di due colonne adiacenti in una matrice.

Siccome non esiste un ambiente già fatto per “disegnare” l’algoritmo di Euclide (ma lo si descrive molto meglio con un successione di espressioni, solo gli esempi numerici richiedono di trafficare con gli array), purtroppo bisogna arrangiarsi in modo creativo; fare provare, controllare, correre e ripetere finao a quando si è soddisfatti.

Tieni presente che \arraycolsep di default dovrebbe essere 6pt, quindi lo spazio globale fra due formule contenute in celle adiacenti dovrebbe essere di 12pt cioè di circa 4mm; è ovvio che quel valore di 6 pt può essere ridotto a meno della metà.

Sia \cline sia \arraycolsep si trovano certamente nella GuidaGuIT; cercali con l’indice analitico.

Faccio mea culpa: ho controllato molto rapidamente le guide che tengo sulla scrivania del mio MAC per comodità. Il fatto è che non avevo collegato il fare queste due cose con gli array e, per l’algoritmo di Euclide, volevo fare una cosina un po’ colorata perché con i numeri “piccoli” mi sembra che per capire bene l’algoritmo bisognerebbe fare cinque o sei esempi e non ho molta voglia di inventarmeli. Invece pensavo che con l’uso dei colori e delle frecce si sarebbe capito da un solo esempio come fare a ricavare il massimo comun divisore.

Farò qualche prova sperando di fare qualcosa di decente.

Ciao e grazie,

Andrea

Non avevo pensato alle doppie parentesi quadre! Mi sembra un’ottima soluzione. Penso che opterò per queste ultime. Tra l’altro il pacchetto offre pure molti altri interessanti simboli potenzialmente utili.

Grazie di nuovo,

Andrea

Avevo pensato anche io a mettere la relazione a pedice dopo le parentesi quadre, ma ho una certa idiosincrasia verso i pedici, tanto che evito di utilizzarli come la peste nelle formule matematiche, a meno che non sia strettamente necessario. Purtroppo, però, nelle note che sto scrivendo le parentesi quadre ricorrono piuttosto spesso: ad esempio il minimo comune multiplo lo indico con [a,b] così come utilizzo l’infelice notazione (a,b) per il massimo comun divisore. Comunque sia, riflettendoci bene, penso che ripristinerò le originali parentesi quadrate dell’ambiente matematico, anche se io quelle del carattere a spaziatura fissa non le trovo così brutte ed antiestetiche. Dopo tutto, è la fortuna di creare le macro personalizzate: basta commentare un comando e sostituirlo con un altro, et voila!

Grazie,

Andrea

Grazie molte. Mi dispiace non essere riuscito a trovare il filone da solo. Sono un po’ impedito con le ricerche su internet 🙁

Ancora grazie,

Andrea